求下列方程的根：
(1)2x-1=0 ； (2)x2-2x-3=0.
方程－x３-３x＋4=0的根怎么求？
回顾旧知，发现问题:
下列一元二次方程及其相应的二次函数图象有什么关系？
方程
x2-2x+1=0
x2-2x+3=0
y= x2-2x-3
y= x2-2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2-2x-3=0
y= x2-2x+3
对于一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？
动脑思考一下
方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根
函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象
判别式△ =
b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象
与 x 轴的交点
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等
的实数根x1 、x2
对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
零点指的是一个实数.
二次函数的图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根有什么关系?
对任意的方程f(x)=0与函数y=f(x)
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
代数法
图像法 或几何法
1.通过求方程的根来找出函数的零点
2.利用函数图像的性质找出函数的零点
1.前面问题2：方程-x３-３x＋4=0的根怎么求？
解：令f(x)= -x３-３x＋4，做出函数f(x)的图像，如下：
可知函数图像与x轴有交点，所以说方程的
-x３-３x＋4=0的根是x=1.
0
1
2
3
4
5
-1
-2
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
x
y
有
＜
有
＜
有
有
有
＜
＜
＜
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)·f(b)＜0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.
即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根.
（1）若只给条件f(a)·f(b)<0能否保证在(a,b)有零点？
（2）函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：且f(a)·f(b)>0，是否在(a,b)内函数就没有零点？
看以下图像
由表3-1和图3.1—3可知
f(2)<0,f(3)>0，
即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内
有零点。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）
和图象（图3.1—3）
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
例题1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
问题9：为什么上个问题中只有一个零点呢？
说一说理由？
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：
如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点.
高考链接
课堂练习
y=-x2-x+20； (2)y=x3-2x2 -x+2.
1.求下列函数的零点:
求函数零点的步骤：
(1)令f(x)=0;
(2)解方程f(x)=0；
(3)写出零点．
解：（1）令-x2-x+20=0，则解得方程的根
为x=-5,x=4,所以此函数的有两个零点
是x=-5,x=4.
（2）令x3-2x2 -x+2=0，则解得方程的根为
x=2,x=1,x=-1,所以此函数有三个零点
分别是x=2,x=1,x=-1.
(3)y=lg(x-1)
解：令lg(x-1)=0,这个方程的根为
x=2，所以说此函数的零点是x=2.
2.函数y= f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的曲线，且f(a) f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）内 （ ）
A.至少有一个零点
B.至多有一个零点
C.只有一个零点
D.有两个零点
A
3．若方程
在
内恰
的取值范围（ ）
有一解，则
A. a<-1 B. a>1
C. -1B
4.函数f(x)=lnx-2/x的零点所在的大致区间（ ）
A. (1,2) B. (2,3)
C. (1,1/e)和(3,4) D. (e,+∞)
B
分析：判断区间（a,b）是否为f(x)零点所在的区间，只要判断f(a).f(b)<0是否成立.经代入计算得
f(2)=ln2 -1<0,f(3)=ln3 -2/3>0
所以f(2).f(3)<0,
所以f(x)在（2，3）内有零点.
选B.
5.若函数y=f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0， f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是 （ ）
A.函数f(x)在区间（0，1）内有零点
B.函数f(x)在区间（1，2）内有零点
C.函数f(x)在区间（0，2）内有零点
D.函数f(x)在区间（0，4）内有零点
D
6. 若二次函数y= +kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求k的取值范围?
7.函数y=| log2|x|-1|有几个零点?
解：令| log2|x|-1|=0，则方程有几个根就有几个零点．由此得到方程有两个根分别是x=+2，x=-2,所以函数有两个零点.
6. 若二次函数y= +kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求k的取值范围?
6. 若二次函数y= +kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求k的取值范围?
6. 若二次函数y= +kx-(k-8)与x轴至多有一个交点,求k的取值范围?
小结
1.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标
2.方程f(x)=0的实数根x叫做是函数y=f(x)的零点.
3.方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
4.零点存在定理
布置作业：
习题3.1A组 第2题