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第一章 集合与函数概念
第二章 基本初等函数Ⅰ
第三章 函数应用
图示法
一、知识结构
一、集合的含义与表示
1、集合:把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合
2、元素与集合的关系:
3、元素的特性:确定性、互异性、无序性
(一)集合的含义
(1)确定性:集合中的元素必须是确定的.
1.集合中元素的性质:
(2)互异性:一个给定的集合中的元素是互不相同的.
(3)无序性:集合中的元素是没有先后顺序的.
自然数集(非负整数集):记作 N
正整数集:记作N*或N+
整数集:记作 Z
有理数集:记作 Q
实数集:记作 R
2.常用的数集及其记法
(含0)
(不含0)
ex1.集合A={1,0,x},且x2∈A,则x=
-1
(二)集合的表示
1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,并放在{ }内
2、描述法:用文字或公式等描述出元素的特性,并放在{x| }内
3.图示法 Venn图,数轴
二、集合间的基本关系
1、子集:对于两个集合A,B如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,我们称A为B的子集.
若集合中元素有n个,则其子集个数为
真子集个数为
非空真子集个数为
2、集合相等:
3、空集:规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
2n
2n-1
2n-2
子集:AB任意x∈A x∈B.
真子集:
AB  x∈A,x∈B,但存在
x0∈B且x0A.
集合相等:A=B AB且BA.
空集:.
性质:①A,若A非空, 则A.
②AA. ③AB,BCAC.
3.集合间的关系:
子集、真子集个数:
一般地,集合A含有n个元素,
A的非空真子集 个.
则A的子集共有 个;
A的真子集共有 个;
A的非空子集 个;
2n
2n-1
2n-1
2n-2
1.并集:
2.交集:
3.全集:
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.用U表示
4.补集:
三、集合的并集、交集、全集、补集
0或2
题型示例
考查集合的含义
考查集合之间的关系
函数的复习主要抓住两条主线
1、函数的概念及其有关性质。
2、几种初等函数的具体性质。
函数
函数知识结构
B
C
x1
x2

x3

x4

x5
y1
y2

y3

y4

y5
y6
A
函数的三要素:定义域,值域,对应法则
A.B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对应叫做从A到B的一个函数。
一、函数的概念:
思考:函数值域C与集合B的关系
二、映射的概念
设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对应,那么就称对应f:A→B为集合A到集合B的一个映射
映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一
函数的定义域:
使函数有意义的x的取值范围。
求定义域的主要依据
1、分式的分母不为零.
2、偶次方根的被开方数不小于零.
3、零次幂的底数不为零.
4、对数函数的真数大于零.
5、指、对数函数的底数大于零且不为1.
6、实际问题中函数的定义域
(一)函数的定义域
1、具体函数的定义域
练习:

2、抽象函数的定义域
1)已知函数y=f(x)的定义域是[1,3],求f(2x-1)的定义域
2)已知函数y=f(x)的定义域是[0,5),求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域
一个函数的三要素为:定义域、对应关系和值域,值域是由对应法则和定义域决定的
判断两个函数相等的方法:
1、定义域是否相等
(定义域不同的函数,不是相同的函数)
2、对应法则是否一致
(对应关系不同,两个函数也不同)
例、下列函数中哪个与函数y=x相等
二、函数的表示法
1、解 析 法
2、列 表 法
3、图 象 法
例10求下列函数的解析式
待定系数法
换元法
三、函数的性质:单调性
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ,当 x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.区间D叫做函数的增区间。
一般地,设函数 f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ,当 x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
3.(定义法)证明函数单调性的步骤:
反比例函数
1、定义域 .
2、值域
4、图象
k>0
k<0
3、单调性
二次函数
1、定义域 .
2、值域
3、单调性

4、图象
a>0
a<0
用定义证明函数单调性的步骤:
(1) 设元,设x1,x2是区间上任意两个实数,且x1<x2;
(2) 作差, f(x1)-f(x2) ;
(3)变形,通过因式分解转化为易于判断符号的形式
(4)判号, 判断 f(x1)-f(x2) 的符号;
(5)下结论.
证明:
设x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则
f(x)在定义域 上是减函数吗?
减函数
例1:判断函数f(x)=1/x在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数?并证明你的结论。
1. 函数f (x)=
2x+1, (x≥1)
4-x, (x<1)
则f (x)的递减区间为( )
A. [1, +∞)
B. (-∞, 1)
C. (0, +∞)
D. (-∞, 0]
B
2、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间[4,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围
一、函数的奇偶性定义
前提条件:定义域关于数“原点”对称。
1、奇函数 f (-x)= - f (x) 或 f (-x)+f (x) = 0
2、偶函数 f (-x) = f (x) 或f (-x) - f (x) = 0
二、奇函数、偶函数的图象特点
1、奇函数的图象关于原点成中心对称图形。
2、偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。
奇函数里的定值:如果奇函数y=f(x)的
定义域内有0,则f(0)=0.
如果函数的定义域不关于原点对称,则
此函数既不是奇函数,又不是偶函数。
奇函数关于原点对称的两个区间上的
单调性一致;偶函数则相反。
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:

①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否
关于原点对称;

②确定f(-x)与f(x)的关系

③作出相应结论:

若f(-x)=f(x) 则f(x)是偶函数

若f(-x)=-f(x) 则f(x)是奇函数.
例12 判断下列函数的奇偶性
已知 f ( x ) 是奇函数,当 x ≥ 0 时, f ( x ) = x 2 -2x,求当 x < 0 时,
f ( x ) 的解析式,并画出此函数 f ( x ) 的图象。
解:∵ f ( x ) 是奇函数
∴ f (-x ) = -f ( x )
即 f ( x ) = -f (- x )
∵当 x ≥ 0 时, f ( x ) = x 2 -2x
∴ 当 x < 0 时, f ( x ) = -f (- x )
= -[ (-x ) 2 -2(-x ) ]
= -( x 2 + 2x )
例题
基本初等函数
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈Q);
⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q);
⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈Q).
指数幂的运算
1. 对数的运算性质:
如果 a > 0,a  1,M > 0, N > 0 有:
指数函数与对数函数
在R上是增函数
在R上是减函数
在( 0 , + ∞ )上是增函数
在( 0 , + ∞ )上是减函数
(1, 0)
(0, 1)
单调性相同
(0, 1)
(0, 1)
(1, 0)
(1, 0)
指数函数与对数函数
B
总结:在第一象限,
越靠近y轴,底数就越大
指数函数与对数函数
若图象C1,C2,C3,C4对应
y=logax, y=logbx, y=logcx, y=logdx,则( )
A.0 C.0D
规律:在x轴
上方图象自左
向右底数越来
越大!
在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x1/2,y=x-1的图象:
y=x,
y=x2
y=x3
y=x1/2
y=x-1
(1)图象都过(0,0)点和
(1,1)点;
(2)在第一象限内,函数值
随x 的增大而增大,即
在(0,+∞)上是增函
数。
(1)图象都过(1,1)点;
(2)在第一象限内,函数值随
x 的增大而减小,即在
(0,+∞)上是减函数。
(3)在第一象限,图象向上与
y 轴无限接近,向右与 x
轴无限接近。
三、幂函数的性质:
1.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);
幂函数的定义域、奇偶性、单调性,因函数式中α的不同而各异.
如果α<0,则幂函数
在(0,+∞)上为减函数。
3.如果α>0,则幂函数
在(0,+∞)上为增函数;
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数.
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点。
第三章函数与方程
若f(x)是单调函数
函数与方程
?函数在区间(a,b)上有零点,则f(a)f(b)<0
?函数在区间(a,b)上有f(a)f(b)<0,则在区间(a,b)上有零点
如何判断函数零点的个数
如何判断零点所在的区间

二分法的步骤
例:关于 x 的方程 x 2 -( k + 1 )x + 2k = 0 的两根异号,则实数 k 的取值
范围是 ____________________
解: 令 f ( x ) = x 2 -( k + 1 )x + 2k
( -∞ , 0 )
由图可知: f ( 0 ) < 0
实际问题
数学模型
数学模型的解
实际问题的解

求解数学应用问题的思路和方法,我们可以用
示意图表示为:
数学模型
函数模型及其应用
例:已知方程(m-1)x2+mx-1=0至少有一个正根,求实数m的范围.
解: 若m-1=0,方程为x-1=0,x=1符合条件.
若m-1≠0,设f(x)=(m-1)x2+mx-1.
∵ f(0)=-1≠0, ∴ 方程f(x)=0无零根.
如方程有异号两实根,则x1x2=<0,m>1.
实际问题
数学模型
数学模型的解
实际问题的解

求解数学应用问题的思路和方法,我们可以用
示意图表示为:
数学模型
函数模型及其应用
函数的图象
1、用描点法画图。
2、用某种函数的图象变形而成。
(1)关于x轴、y轴、原点对称关系。
(2)平移关系。
例 作函数的图象
y
x
o
1
1
7
18
指数函数
1、定义域 .
2、值域
3、单调性
4、图象
a>1
0在( )递增
在( )递减
y
x
o
1
y
x
o
1
R+
对数函数
1、定义域 .
2、值域
3、单调性
4、图象
a>1
0R+
在(0, )递增
在(0, )递减
1
1