1.3.2 球的体积和表面积
1.了解球的体积、表面积的推导过程.（难点）
2.会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题.
（重点）
3.能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”
与“外切”的几何体问题．（难点）
怎样求球的体积?
知识探究
r
=
Þ
r
=
m
V
V
m
怎样求球的体积?
实验：排液法测小球的体积
放入小球前
H
小球的体积 等于它排开液体的体积
实验：排液法测小球的体积
放入小球后
割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”.这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限”思想.
球体由N个这样形状的几何体组成
球体的分割
这样可以求出球体的体积为
球面被分割成n个网格，表面积分别为
则球的表面积为
球的表面积
半径是 的球的表面积：
球的表面积是大圆面积的4倍
球的体积与表面积
1.球的体积公式：
2.球的表面积公式：
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
知识应用
证明:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，
高为2R.
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，
顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A.πa2 B. πa2
C. πa2 D.5πa2
【解题提示】这是一个组合体问题，解答此题只需
画出三棱柱的直观图，弄清球心位置求出球的半径
即可.
【变式练习】
B
【解析】选B.由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.
如图，设O,O1分别为下、上底面中心，且球心O2为O1O的中点，
又AD= a，AO= a，
OO2= ，设球的半径为R，
则
所以S球=
1.（2012·广东高考）某几何体的三视图如图所示，
它的体积为（ ）
A.72π B.48π
C.30π D.24π
【解析】选C. 由三视图可知几何体是由一个半球和 一个倒立的圆锥组成的组合体.
C
2.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它
的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
（ ）
A．25π B． 50π C． 125π D．都不对
3.一个球的半径扩大到原来的3倍，则其表面积扩大
到原来的___倍，体积扩大到原来的___倍.
【解析】设球原来的半径为R，表面积为S表，体积为V，则扩大后的半径为3R，表面积为 ，体积为V′,

所以
答案：9 27
9
27
4.已知过球面上三点 的截面和球心的距离为球
半径的一半，且 ，求球的表面积.
中，
关键要求出半径.
熟练掌握球的体积、表面积公式：
不能忍受批评，就无法尝试新事物。