第三章 直线与方程
3．2　直线的方程
3．2．1　直线的点斜式方程
1．了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点)
2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点)
3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点)
1．直线的点斜式方程和斜截式方程
y－y0＝
k(x－x0)
y＝kx＋b

2．直线的斜截式方程与一次函数表达式有什么关系？
提示：当k≠0时，斜截式方程y＝kx＋b是一次函数的表示形式；而一次函数y＝kx＋b中，常数k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截距，一次函数表示直线，但直线的方程不一定能写成一次函数形式．
2．直线l的截距
(1)直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的____________．
(2)直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的 ．
纵坐标b
横坐标a
3．截距与距离是一回事吗？
提示：不是一回事，截距是直线与x轴(y轴)交点的横(纵)坐标，因此可正，可负也可为零，而“距离”必须是非负的．
直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
直线的点斜式方程
特别提醒：经过定点P(x0，y0)的直线有无数条，可分两类：(1)斜率存在的直线方程为y－y0＝k(x－x0)；(2)斜率不存在的直线方程为x＝x0．
因此点斜式方程y－y0＝k(x－x0)不能表示经过点P(x0，y0)的所有直线，斜率不存在并不等于方程不存在．
一条直线经过点M(2，－3)，倾斜角α＝135°，求这条直线的方程，并画出图形．
解：这条直线经过点M(2，－3)，斜率是k＝tan 135°＝－1．代入点斜式得y－(－3)＝－(x－2)，即x＋y＋1＝0．
这就是所求直线的方程，图形如图所示．
【题后总结】求直线的点斜式方程，步骤如下：
本题在利用直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)时，注意千万不要把“y－(－3)”写成“y－3”，从而把所求直线方程误写成y－3＝－(x－2)．另外，如果不作特别声明保留直线方程的某种形式，都应该化成关于x，y的二元一次方程的一般形式，即Ax＋By＋C＝0的形式．
1．已知直线l过点A(2,1)且与直线y－1＝4x－3垂直，求直线l的方程．
斜截式方程是点斜式方程的一个特例，是点斜式中已知点(x0，y0)中的x0＝0的情况．斜截式方程y＝kx＋b的特点：左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，所以常把直线方程化为斜截式方程求斜率与截距．
直线的斜截式方程
已知直线l过点A(2，－3)．(1)若l与直线y＝－2x＋5平行，求其方程；(2)若l与直线y＝－2x＋5垂直，求其方程．
解：(1)(方法一)∵l与y＝－2x＋5平行，
∴kl＝－2，由直线的点斜式方程知y＋3＝－2(x－2)，即2x＋y－1＝0．
(方法二)已知直线方程为y＝－2x＋5，
而l与其平行，∴l的方程设为y＝－2x＋b，
又过点(2，－3)，∴b＝1，
∴2x＋y－1＝0．
【题后总结】(1)已知直线的斜率和与y轴交点的坐标时，常用斜截式写出直线的方程，较直线方程的点斜式更为方便．
(2)利用直线方程的斜截式的前提条件是斜率存在，当直线的斜率不存在时，直线无法用斜截式表示，直线在y轴上也没有截距．
(3)待定系数法是确定k和b的值常用方法之一．
2．已知直线l在y轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程．
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2
(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2且b1≠b2时，l1∥l2．所以有l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2．
(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2．所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．
利用平行与垂直求参数的取值范围
特别提醒：若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．
(12分)(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l3：y＝(2a－1)x＋3与直线l4：y＝4x－3垂直？
【借题发挥】
3．已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2，若直线l与线段AB恒相交，求实数k的取值范围．
解：直线l：y＝kx－2经过定点P(0，－2)，若直线l与线段AB恒相交(如图)，则k≤kPA或k≥kPB．
误区：求直线方程时因忽视斜率不存在而致错
【典例】 已知直线l的倾斜角为α，且经过点(1，－2)，求直线l的方程．
【错误解答】由直线l的倾斜角为α，得该直线的斜率k＝tan α，又由点斜式得，直线l的方程为y＋2＝tan α(x－1)．
【正确解答】当α≠90°时，由点斜式得，直线l的方程为y＋2＝tan α(x－1)；当α＝90°时，直线l的方程为x＝1．
【纠错心得】由于点斜式方程是用点的坐标和斜率表示的，因而它只能表示斜率存在的直线，斜率不存在的直线是不能用点斜式方程来表示的，即点斜式方程不能表示与x轴垂直的直线；过点P0(x0，y0)且垂直于x轴的直线可以表示为x＝x0的形式．因此在使用点斜式求直线的方程时，应分“斜率存在”与“斜率不存在”两种情况分别考虑，以免丢解．
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