3.3.1 两条直线的交点坐标
问题：如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？
知识梳理
方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系有何对应关系？
例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y－2=0； l2： 2x+y+2=0.
例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的
直线方程，l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
解：解方程组
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
∴l1与l2的交点是（2，2）
设经过原点的直线方程为
y=k x
把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为
y= x
例3：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x－3y－5=0）。
结论：A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0是过直线
A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
例4、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
（1）l1:x-y=0, l2:3x+3y-10=0;
（2）l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y=0;
（3）l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0;
例5：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，
且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。
解法一：解方程组
∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+3y－5=0的斜率是－1/3
∴所求直线的斜率是3
所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
解法二：所求直线在直线系2x-y-7+λ（x+2y-1）=0中
经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0
解得 λ= 1/7
因此，所求直线方程为3x－y－10=0
3.3.2 两点间的距离
在直角△P1QP2中，
特别地，原点O（0，0）与任意一点P(x,y)的距离为
例2、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
C(a+b,c)
y
建立坐标系，用坐标表示有关的量。
把代数运算结果“翻译”成几何关系。
进行有关的代数运算。
x
y
O
点到直线的距离
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.
Q
Q
(x0,y1)
(x1,y0)
x
O
-1
1
2
3
解：
x
O
-1
1
2
3
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
两条平行直线间的距离：
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
例2： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
两平行线间的距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0
的距离公式是
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
小结
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理
为对应相等的形式。