点到直线的距离
复习提问
1、平面上点与直线的位置关系怎样？
答案：有两种，一种是点在直线上，
另一种是点在直线外.
2、什么叫点到直线的距离？
答案：从点作直线的垂线，点到垂足的
线段长.
问题1 如何求点 到以下直线的距离？
问题探究
方法1 利用定义
方法2　利用三角函数
1、直线 x=-1
2、直线 y=3
3、直线
方法3　利用三角形面积相等
方法4　利用二次函数求最值
问题2 如何求点 到直线
的距离？
·
·
·
M
问题探究
L
L1
Q
P(x0,y0)
L:Ax+By+C=0
已知：点P(x0,y0)和直L:Ax+By+C=0，怎样求点P到直线L的距离呢？
根据定义，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长。
过点P作直线L1⊥L于Q,
怎么能够得到线段PQ的长?
利用两点间的距离公式求出|PQ|.
则线段PQ的长就是点P到直线L的距离.
解题思路：
步 骤
(1)求直线L1的斜率；
(2)用点斜式写出L1的方程；
(3)求出Q点的坐标；
(4)由两点间距离公式d=|PQ|.
解:设A≠0,B≠0,过点P作L的垂线L1,垂足为Q,
L
L1
Q
P(x0,y0)
L:Ax+By+C=0
由点斜式得L1的方程
一般情况 A≠0，B≠0时
把（3）代入（2）得
设Q点的坐标为(x1,y1).又Q(x1,y1)是L1与L的交点，则
把（4）代入（2）得
当AB=0（A，B不全为0）
（1）Ax+C=0
用公式验证结果相同
（2）By+C=0
用公式验证结果相同
O
y
x
l:Ax+By+C=0
P(x0,y0)
1.此公式的作用是求点到直线的距离；
2.此公式是在A ≠0 、B≠0的前提下推导的；
3.如果A=0或B=0，此公式也成立；
4.用此公式时直线方程要先化成一般式。
点到直线距离公式
点 到直线
（ ）的距离为
例1 求点 到下列直线的距离：
例题选讲
解:设所求直线的方程为y-2=k(x+1) 即 kx-y+2+k=0
由题意得
∴k2+8k+7=0
∴所求直线的方程为x+y-1=0
或7x+y+5=0.
2
-1
例2的变式练习求过点A(-1,2)且与原点的距离等于
(1).距离改为1;
(2).距离改为 ;
(3).距离改为3(大于 ).
想一想?在练习本上画图形做.
例2的变式练习
(1).距离改为1,
x=-1
4(y-2)=-3(x+1)
2
-1
或x=-1(易漏掉)
则用上述方法得4(y-2)=3(x+1)
例2的变式练习
（2）.距离改为 ,
2(y-2)=x+1
2
-1
则得2(y-2)=x+1;
（3）.距离改为3(大于 ),则
2
3
-1
-3
无解。
例2的变式练习
两条平行直线间的距离
思考:如何求两条平行直线之间的距离？
P
任意两条平行直线都可以写成如下形式：
直线的方程应化为一般式！
例3. 已知直线 和
,l1与l2是否平行？若平行,
求l1与l2的距离.
1.今天我们学习了点到直线的距离公式,要熟记公式的结构.应用时要注意将直线的方程化为一般式.
2.当A=0或B=0(直线与坐标轴垂直)时，仍然可用公式，这说明了特殊与一般的关系.
3.用图形解释运算结果,体会了数学与形式结合的思想.
小结