第四章 圆与方程
人教版必修2
圆的一般方程
1
圆的标准方程
2
直线与圆的位置关系
3
圆与圆的位置关系
4
空间直角坐标系
本章内容
圆心是C(a,b),半径为r的圆的标准方程是
(x-a)2+(y-b)2=r2
1、圆的标准方程
练习 求圆的标准方程
(1)圆心在原点,半径为3;
(2)圆心在点(-2,1),半径为 2
(3)经过点P(5,1),圆心在点(8,-3).
x2+y2=9
(x+2)2+(y-1)2=4
(x-8)2+(y+3)2=25
(1)当 时,方程表示一个点,该点的坐标为

(2)当 时,方程不表示任何图形;
D2+E2-4F=0
D2+E2-4F<0
2、圆的一般方程
对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
(3)当 时,方程表示的曲线为圆,

它的圆心坐标为 ，

半径为
对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
D2+E2-4F >0
2、圆的一般方程
题型一 圆的方程的判断
例1:判断下列方程是否表示圆,若是则求圆心与半径
(1)x2+y2+2x+1=0;
(2)x2+y2+2y-1=0;
(3)x2+y2+4x+6y+9=0;
(4)x2+y2+2y=0.
.
2、圆的一般方程
不是圆
圆心（0，-1），半径根号2
圆心（-2，-3），半径2
圆心（0，-1），半径1
例题 求过点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程.
解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将A､B､C三点坐标代入整理得

∴所求圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0.
题型二 求圆的一般方程
答案
2、圆的一般方程
规律技巧:
求圆的方程常用“待定系数法”，大致步骤是:
①根据题意,选择标准方程或一般方程;
②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.
1、直线与圆有三种位置关系:
(1)直线与圆________,有两个公共点.
(2)直线与圆________,有一个公共点.
(3)直线与圆________,没有公共点.
相交
相切
相离
3、直线与圆的位置关系
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法
(1)几何方法——利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断:
dd=r⇔相切,
d>r⇔相离.
(2)代数方法——-联立直线与圆的方程,消去x或y，转化为一元二次方程,利用判别式“Δ”进行判断:
Δ>0⇔相交,Δ=0⇔相切,Δ<0⇔相离.
3、直线与圆的位置关系
题型一 判断直线与圆的位置关系
例1:判断直线x+y-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系
解：该圆的圆心为（2，-1），半径为

∴圆心到直线的距离
故直线与圆相切.
答案
3、直线与圆的位置关系
题型2 求圆的切线方程
先判断点是在圆上还是圆外
(1)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切线的性质,求出切线的斜率
代入点斜式方程可得.
3、直线与圆的位置关系
(2)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距离d等于半径求k.
若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上
3、直线与圆的位置关系
3、直线与圆相交所得的弦长问题
例 直线l的方程为3x-4y+15=0,求直线与圆C:x2+y2=25相交的弦长
3、直线与圆的位置关系
变式训练3:
求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
3、直线与圆的位置关系
设两圆半径分别为r1，r2，圆心距离为d，则
d＞r1＋r2
4、圆与圆的位置关系
d＝r1＋r2
|r2－r1|＜d＜r1＋r2
4、圆与圆的位置关系
d＝|r2－r1|
d＜|r1－r2|
4、圆与圆的位置关系
例1 已知圆
试判断圆 与圆 的关系.
题型一 圆与圆的位置关系
相交
4、圆与圆的位置关系
题型二 两圆相交弦（公共弦）
例3:已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,
圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
两圆相交时，将两圆的方程相减所得方程就是两圆的相交弦所在的直线方程；若求相交弦长则转化为直线与圆相交求弦长问题
4、圆与圆的位置关系
5、空间直角坐标系
点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 zox平面．
x
y
z
设点M为空间的一个点，过点M构造一个长方体，依次交x轴，y轴，z轴于点P,Q,和R,设点P,Q,R在x轴，y轴，z轴上的坐标分别是x，y，z，那么点M的坐标就是（x，y，z）
X叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标
空间直角坐标系的坐标：
5、空间直角坐标系
例1：在长方体
中， 写出所有点的坐标
顺序：OABC-D’A’C’B’
5、空间直角坐标系
关于谁对称谁不变
（1）空间的对称
（2）两点间的距离
设P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)，则
特别地，
P(x,y,z)到原点的距离.
（3）中点坐标
练习：在长方体
中， M是D’B’的中点，求其坐标
M
例2:试判断A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点是否在同一圆上.
分析:先求过A､B､C三点的圆的方程,再把D代入圆的方程,看是否成立即可.
解:设A､B､C三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把A､B､C三点的坐标分别代入圆的方程得
∴过A､B､C三点的圆的方程是x2+y2-2x+2y-23=0,将D(4,3)代入方程,适合.故A､B､C､D四点在同一圆上.