第6讲　一次方程(组)及其应用
第7讲　一元二次方程及其应用
第8讲　分式方程及其应用
第9讲　一元一次不等式(组)及其应用
第二单元 方程(组)与不等式(组)
第6讲┃一次方程(组)及其应用
第6讲 一次方程(组)及其应用
第6讲┃ 考点聚焦
考点1 等式的概念与等式的性质
相等
第6讲┃ 考点聚焦
考点2 方程及相关概念
等式
方程的解
根
解方程
考点3 一元一次方程的定义及解法
第6讲┃ 考点聚焦
一
一
ax＋b＝0(a≠0)
第6讲┃ 考点聚焦
考点4 二元一次方程组的有关概念
第6讲┃ 考点聚焦
考点5 二元一次方程组的解法
第6讲┃ 考点聚焦
考点6 一次方程(组)的应用
第6讲┃ 考点聚焦
考点7 常见的几种方程类型及等量关系
第6讲┃ 考点聚焦
第6讲┃ 归类示例
►　类型之一　等式的概念及性质
命题角度：
1. 等式及方程的概念；
2. 等式的性质．
例1 如图①，在第一个天平上，砝码A 的质量等于砝码B加上砝码C 的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A 加上砝码B的质量等于3个砝码C 的质量．请你判断：1个砝码A 与________个砝码C 的质量相等．
图6－1
图6－1
2
第6讲┃ 归类示例
►　类型之二　一元一次方程的解法
命题角度：
1．一元一次方程及其解的概念；
2．解一元一次方程的一般步骤．
第6讲┃ 归类示例
例2 [2011·滨州]
第6讲┃ 归类示例
分式的基本性质
等式性质2
等式性质1
去括号法则或乘法分配律
移项
合并同类项
系数化为1
等式性质2
► 类型之三 二元一次方程(组)的有关概念
第6讲┃ 归类示例
C
命题角度：
1．二元一次方程(组)的概念；
2．二元一次方程(组)的解的概念
例3
第6讲┃ 归类示例
► 类型之四 二元一次方程组的解法
命题角度：
1．代入消元法；
2．加减消元法．
第6讲┃ 归类示例
例4 [2012·南京]
第6讲┃ 归类示例
(1)在二元一次方程组中，若一个未知数能很好地表示出另一个未知数时，一般采用代入法．
(2)当两个方程中的某个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为1时，一般采用加减消元法．
第6讲┃ 归类示例
► 类型之五 利用一次方程(组)解决生活实际问题
命题角度：
1．利用一元一次方程解决生活实际问题；
2．利用二元一次方程组解决生活实际问题．
第6讲┃ 归类示例
例5 [2012·无锡] 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%.
第6讲┃ 归类示例
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后，每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．
(1)请问，投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？
(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元．
第6讲┃ 归类示例
第6讲┃ 归类示例
第7讲┃一元二次方程及其应用
第7讲 一元二次方程
及其应用
第7讲┃ 考点聚焦
考点1一元二次方程的概念及一般形式
一
2
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
第7讲┃ 考点聚焦
考点2 一元二次方程的四种解法
第7讲┃ 考点聚焦
第7讲┃ 考点聚焦
考点3 一元二次方程的根的判别式
第7讲┃ 考点聚焦
两个不相等
两个相等
没有
考点4 一元二次方程的应用
第7讲┃ 考点聚焦
第7讲┃ 归类示例
►　类型之一　一元二次方程的有关概念
命题角度：
1．一元二次方程的概念；
2．一元二次方程的一般式；
3．一元二次方程的解的概念．
例1 已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
A
[解析] 把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a)＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0，
所以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A
►　类型之二　一元二次方程的解法
命题角度：
1．直接开平方法；
2．配方法；
3．公式法；
4．因式分解法．
第7讲┃ 归类示例
例2 [2012·无锡]解方程：x2－4x＋2＝0.
利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．
第7讲┃ 归类示例
► 类型之三 一元二次方程根的判别式
第7讲┃ 归类示例
命题角度：
1．判别一元二次方程根的情况；
2．求一元二次方程字母系数的取值范围．
例3 [2012·绵阳] 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
第7讲┃ 归类示例
(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．
(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件
第7讲┃ 归类示例
► 类型之四 一元二次方程的应用
命题角度：
1．用一元二次方程解决变化率问题：a(1±m)n＝b； 2．用一元二次方程解决商品销售问题．
第7讲┃ 归类示例
例4 [2012·徐州]为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费做如下规定：一间宿舍一个月用电量若不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要 交元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元．
(1)求a的值；
(2)若该宿舍5月份交电费为45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？
第7讲┃ 归类示例
[解析] (1)由题意可得出3月份的用电量超过了a度，而4月份的用电量在a度以内，那么可根据3月份的用电情况来求a的值．可根据：不超过a度的缴费额＋3月份超过a度部分的缴费额＝总的电费；列出方程，进而可求出a的值．然后可根据4月份的用电量大致判断出a的取值范围，由此可判定解出的a的值是否符合题意．(2)由(1)得a的值，把45代入即可．
第7讲┃ 归类示例
第7讲┃ 回归教材
根的判别式作用大
教材母题　江苏科技版九上P91T2
k取什么值时，方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根？求这时方程的根．
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴(－k)2－4×1×4＝0，即k2＝16.
解得k1＝4，k2＝－4.
把k1＝4代入x2－kx＋4＝0，
得x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2；
把k2＝－4代入x2－kx＋4＝0，
得x2＋4x＋4＝0，解得x1＝x2＝－2.
第7讲┃ 回归教材
[点析] (1)要判定某个一元二次方程是否有实数解或有几个实数解时，常用一元二次方程根的判别式去判定．
(2)见到含有字母的一元二次方程时，在实数范围内首先应有Δ≥0；若字母在二次项系数中，则还应考虑二次项系数是否为0.
第7讲┃ 回归教材
1.[2012·广安] 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　)
A．a＞2 B．a＜2
C．a＜2且a≠1 D．a＜－2
C
[解析] Δ＝4－4(a－1)＝8－4a＞0，得a＜2.又a－1≠0，
∴a＜2且a≠1.故选C.
第7讲┃ 回归教材
2.[2011·孝感]
第7讲┃ 回归教材
第8讲┃分式方程及其应用
第8讲 分式方程及其应用
第8讲┃ 考点聚焦
考点1 分式方程
未知数
零
零
第8讲┃ 考点聚焦
考点2 分式方程的解法
公分母
考点3 分式方程的应用
第8讲┃ 考点聚焦
列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意．
第8讲┃ 归类示例
►　类型之一　分式方程的概
命题角度：
1．分式方程的概念；
2．分式方程的增根．
例1 [2012·攀枝花]
1
第8讲┃ 归类示例
►　类型之二　分式方程的解法
命题角度：
1．去分母法；
2．换元法 ．
3．注意解分式方程必须检验．
第8讲┃ 归类示例
例2 [2012·苏州]解方程：
解分式方程常见的误区：
(1)忘记验根；(2)去分母时漏乘整式的项；(3)去分母时，没有注意符号的变化．
第8讲┃ 归类示例
► 类型之三 分式方程的应用
第8讲┃ 归类示例
命题角度：
1．利用分式方程解决生活实际问题；
2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．
例3[2012·扬州 ]为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种 ，结果提前4天完成任务．原计划每天种多少棵树？
第8讲┃ 归类示例
第8讲┃ 回归教材
行程问题有规律
教材母题　江苏科技版八下P53T3
某校甲、乙两组同学同时出发去距离学校4 km的植物园参观，甲组步行，乙组骑自行车，结果乙组比甲组早到20 min.已知骑自行车的速度是步行速度的2倍，求甲、乙两组的速度．
第8讲┃ 回归教材
[2011·徐州] 徐州至上海的铁路里程为650 km.从徐州乘“G”字头列车A、“D” 字头列车B都可直达上海，已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶的时间比B车少2.5 h.
(1)设B车的平均速度为x km/h，根据题意，可列分式方程：________________；
(2)求A车的平均速度及行驶时间.
第8讲┃ 回归教材
第9讲┃一元一次不等式(组)及其应用
第9讲 一元一次不等式
(组)及其应用
第9讲┃ 考点聚焦
考点1 不等式
不等号
解
解集
第9讲┃ 考点聚焦
不变
不变
改变
第9讲┃ 考点聚焦
考点2 一元一次不等式
1
考点3 一元一次不等式组
第9讲┃ 考点聚焦
第9讲┃ 考点聚焦
考点4 一元一次不等式(组)的应用
第9讲┃ 考点聚焦
考点5 利用不等式(组)解决日常生活中的实际问题
第9讲┃ 考点聚焦
第9讲┃ 考点聚焦
第9讲┃ 归类示例
►　类型之一　不等式的概念及性质
命题角度：
1．不等式、不等式的解和解集等概念；
2．不等式的性质．
例1 [2011·无锡 ]若a>b，则(　　)
A．a>－b B．a<－b
C．－2a>－2b D．－2a<－2b
D
[解析] 由于a、b的取值范围不确定，故可考虑利用特例来说明，A、例如a＝0，b＝－1，a＜－b，故此选项错误，B、例如a＝1，b＝0，a＞－b，故此选项错误，C、利用不等式性质2，同乘以－2，不等号改变，则有－2a＜－2b，故此选项错误，由此也说明D选项正确，故选D.
(1)运用不等式的性质时，应注意不等式的两边同时乘或者除以一个负数，不等式的方向要改变；
(2)生活中的跷跷板、天平等问题，常借助不等式(组)来求解，注意数与形的有机结合．
第9讲┃ 归类示例
►　类型之二　一元一次不等式
命题角度：
1．一元一次不等式的概念；
2．一元一次不等式的解法 ．
第9讲┃ 归类示例
例2 [2012·连云港]
图9－2
► 类型之三 一元一次不等式组
第9讲┃ 归类示例
命题角度：
1．一元一次不等式组的概念和解集；
2．一元一次不等式组的解法．
3. 求不等式的整数解
例3 [2012·淮安]解不等式组：
[解析]先分别求出每个不等式的解集，再求出这两个不等式解集的公共部分，就是这个不等式组的解集.
第9讲┃ 归类示例
解：解不等式x－1＞0，得x＞1.
解不等式3(x＋2)＜5x，得x＞3.
根据“同大取大”得原不等式组的解集为x＞3.
► 类型之四 与不等式(组)的解集有关的问题
第9讲┃ 归类示例
命题角度：
1．求不等式组的整数解；
2．根据解的情况求相关字母的值．
例4
B
第9讲┃ 归类示例
已知不等式组的解集求字母(或有关字母代数式)的值，一般先求出已知不等式(组)的解集，再结合给定的解集，得出等量关系或者不等关系．
第9讲┃ 归类示例
► 类型之五　一元一次不等式(组)的应用
第9讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 解决商品销售问题；
2. 解决门票的销售、原料的加工等方面的问题；
3. 利用不等关系确定取值范围，讨论方案的可行性．
4.利用不等关系讨论哪种方案更合算
例5 某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．
(1)若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？
(2)请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？
解：(1)120×0.95＝114(元)，
所以实际应支付114元．
(2)设购买商品的价格为x元，由题意得：
0．8x＋168＜0.95x，
解得x>1120.
所以当购买商品的价格超过1120元时，采用方案一更合算．
第9讲┃ 归类示例
(1)解决实际问题时，要注意题中表示不等关系的关键词，如 “不少于”、“不超过” 、“不高于”等；
(2) 所求的结果应符合生活实际 。
第9讲┃ 归类示例
第9讲┃ 回归教材
“分配”中的不等关系
教材母题　江苏科技版八下P25T5
将23本书分给若干名学生，如果每人4本，那么有剩余；如果每人5本，却又不够．问共有多少名学生？
第9讲┃ 回归教材
[点析] 利用不等式组解此类应用题，关键是弄清题意，凡是分配问题，一般总量不发生变化，只是如何分配的问题
第9讲┃ 回归教材
[2010·桂林 ]某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元．
(1)该校初三年级共有多少人参加春游？
(2)请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．
第9讲┃ 回归教材