中考数学专题探究分类与讨论
问题:
已知a、b、c均为非零实数，且满足

则k的值为（ ）

A 1 B -2 C 1或-2 D 1或2
根据研究对象的本质属性的差异，将所研究的问题分为不同种类的思想叫做分类思想．将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论．
引起分类讨论的几个主要原因
1.问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的.如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况.这种分类讨论题型可以称为概念型.
2.问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的.如讨论一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（k≠0）的增减性，要分k＜0和k＞0两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型.
例如：已知一次函数y=kx+b，当－３≤ｘ≤１时，对应ｙ的值为１≤ｙ≤９.则ｋ·ｂ的值（ ）
（Ａ）１４　　　 （Ｂ）－６　　　　
（Ｃ） －６或２１　　 （Ｄ） －６或１４
3.解含有字母系数（参数）的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论.这称为含参型.
例如：（06南通）已知A＝a ＋2，B＝a 2－a＋5，
C＝a 2＋5a－19，其中a＞2．
求证：B－A＞0，并指出A与B的大小关系；
指出A与C哪个大？说明理由．
解:(1) B－A＝（a－1）2+2 ＞0　　∴　B＞A　　

（2）C－A＝（a＋7）(a－3)
∵ a＞2， ∴ a＋7＞0　　
∴当2＜a＜3时， A＞C
当a＝3时， A＝C　
当a＞3时， A＜C
4.某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性.
例如：
1. 在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径是（ ）
A 5 B 10 C 5或4 D 10或8
【简解】本题对谁是斜边进行讨论，选D；
2. 已知关于x的方程(k2－1)x2－2(k＋1)x＋1＝0有实数根，求k的取值范围
【简解】本题分方程是一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论，答案:k＞－1；
3.菱形有一内角为120°,有一条对角线为6cm,则此菱形的边长为 cm.
【简解】本题分6cm是较短的对角线和6cm是较长的对角线两种情况，答案 6cm或2cm；
4.五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是4，唯一众数是5，则这五个正整数的和为 .
【简解】本题分五个数分别为1、2、4、5、5；
1、3、4、5、5； 2、3、4、5、5三种情况，
答案 17、18、19；
5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角 °
【简解】本题分腰上的高在三角形形内和腰上的高在三角形形外两种情况，答案 45°和135°；
【简解】本题分三角形的外心在三角形形内和形外两种情况，答案 30°和150°.
7.（06常州）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与 轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式.
分析：本题是数量（60°的角）不确定，所以要分类讨论，同时，本题中还涉及到轴对称，因此有4种情况产生.
解：
设二次函数的图像的对称轴与 轴相交于点E，
（1）如图①，当 时，
因为ABCD菱形，一边长为2，
所以，
所以点B的坐标为（ ，0），
点C的坐标为（1，-1），
解得 ，所以
图①
（2）如图②，当 时，由菱形性质知点A的坐标为（0，0），点C的坐标为（1， ），
解得
所以
同理可得：

所以符合条件的二次函数的表达式有：
图②
8.(07无锡)（1）已知△ABC中，∠A=90°,∠B=67.5°
请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
分析：本题是对图形的分割，分割线的位置可以不同，形成的图形也不同，所以需要分类讨论.
解：（1）如图，共有2种不同的分割法
备用图①
（2）已知△ABC中, ∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
图2
图3
9.（07苏州）设抛物线与x轴交于两个不同的点
A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°． (1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．
(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于___________．
分析：本题中以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，由于没有指明对应点，所以需要分类说明.
解：（1）令x＝0，得y＝－2 ∴C（0，－2）
∵∠ACB＝90°，CO⊥AB
∴△AOC ∽△COB ∴OA·OB＝OC2
∴OB＝ ∴m＝4
将A（－1，0），B（4，0）代入

得 ∴抛物线的解析式为
（2）D（1,n）代入 ,得 n＝－3

由 得 ∴E（6,7）
分别过E、D作EH、DF垂直于x轴于H、F，则H（6,0）、F（1，0）∴AH＝EH＝7 ∴∠EAH＝45°
∴BF＝DF＝3 ∴∠DBF＝45° ∴∠EAH=∠DBF=45°
∴∠DBH=135° 90°<∠EBA<135°
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：
10．如图1，已知正方形ABCD的边长为2，O为BC边的中点，若P为DC上一动点，连结BP，过点O作直线l⊥BP交AB（或AD）于点Q．
（图1）
（1）设DP＝t（0＜t＜2），直线l截正方形所得左侧部分图形的面积为S，试求S关于t的函数关系式．（图1）
（2）当点Q落在AD（不含端点）上时，问：以O、P、Q为顶点的三角形能否是等腰三角形？若能，请指出此时点P的位置；若不能，请说明理由．
分析：在有关动点的几何问题中，由于图形的不确定性，我们常常需要针对各种可能出现的图形对每一种可能的情形都分别进行研究和求解．换句话说，分类思想在动态问题中运用最为广泛．
图2
E
Q
P
图3
P
Q
图4
分类思想是我们数学中一种非常重要,也是很常见的思想, 在中考中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度.解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.