中考真题：数学试卷附参考答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）（2015•桂林）下列四个实数中最大的是（　　）
A． ﹣5 B． 0 C． π D． 3
考点： 实数大小比较．
分析： 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
解答： 解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣5＜0＜3＜π，
所以四个实数中最大的是π．
故选：C．
点评： 此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（3分）（2015•桂林）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（　　）


A． 110° B． 120° C． 130° D． 140°

考点： 三角形的外角性质．
分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．
故选B．
点评： 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
3．（3分）（2015•桂林）桂林冬季里某一天最高气温是7℃，最低气温是﹣1℃，这一天桂林的温差是（　　）
A． ﹣8℃ B． 6℃ C． 7℃ D． 8℃
考点： 有理数的减法．
专题： 应用题．
分析： 根据“温差”=最高气温﹣最低气温计算即可．
解答： 解：7﹣（﹣1）=7+1=8℃．
故选D．
点评： 此题考查了有理数的减法，解题的关键是：明确“温差”=最高气温﹣最低气温．

4．（3分）（2015•桂林）下列数值中不是不等式5x≥2x+9的解的是（　　）
　 A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
考点： 不等式的解集．
分析： 根据一元一次不等式的解法，移项、合并，系数化为1求出不等式的解集，再根据各选项确定答案．
解答： 解：移项得，5x﹣2x≥9，
合并同类项得，3x≥9，
系数化为1得，x≥3，
所以，不是不等式的解集的是x=2．
故选：D．
点评： 本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质．
5．（3分）（2015•桂林）下列四个物体的俯视图与右边给出视图一致的是（　　）













 A． B． C． D．
考点： 由三视图判断几何体．
专题： 计算题．
分析： 从上面看几何体，得到俯视图，即可做出判断．
解答： 解：几何体的俯视图为

故选C
点评： 此题考查了由三视图判断几何体，具有识别空间想象能力是解本题的关键．
6．（3分）（2015•桂林）下列计算正确的是（　　）
　
A．
（a5）2=a10
B．
x16÷x4=x4
C．
2a2+3a2=6a4
D．
b3•b3=2b3


考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析： 根据幂的乘方、同底数幂的乘法、同类项和同底数幂的除法计算即可．
解答： 解：A、（a5）2=a10，正确；
B、x16÷x4=x12，错误；
C、2a2+3a2=5a2，错误；
D、b3•b3=b6，错误；
故选A
点评： 此题考查幂的乘方、同底数幂的乘法、同类项和同底数幂的除法，关键是根据法则进行计算．
7．（3分）（2015•桂林）某市七天的空气质量指数分别是：28，45，28，45，28，30，53，这组数据的众数是（　　）
A． 28 B． 30 C． 45 D． 53
考点： 众数．
分析： 根据众数的定义进行解答．
解答： 解：28出现了3次，出现的次数最多，所以众数为28；
故选：A．
点评： 本题考查了众数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
8．（3分）（2015•桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　）
A． 30，40，50 B． 7，12，13 C． 5，9，12 D． 3，4，6
考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
解答： 解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选A．
点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
9．（3分）（2015•桂林）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=12，AD⊥BC于D，点E、F分别在AB、AC边上，把△ABC沿EF折叠，使点A与点D恰好重合，则△DEF的周长是（　　）


A． 14 B． 15 C． 16 D． 17　
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据折叠的性质可得EF为△ABC的中位线，△AEF≌△DEF，分别求出EF、DE、DF的长度，即可求得周长．
解答： 解：由折叠的性质可得，△AEF≌△DEF，EF为△ABC的中位线，
∵AB=10，AC=8，BC=12，
∴AE=ED=5，AF=FC=4，EF=6，
∴△DEF的周长=5+4+6=15．
故选B．
点评： 本题考查了翻折变换，解答本题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10．（3分）（2015•桂林）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（　　）


　
A．
18
B．
18

C．
36
D．
36


考点： 菱形的性质．
分析： 根据菱形的对角线平分对角求出∠ABC=60°，过点A作AE⊥BC于E，可得∠BAE=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AE=3
，然后利用菱形的面积公式列式计算即可得解．

解答： 解：过点A作AE⊥BC于E，如图：，


∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，
∴∠BAE=30°，
∵AE⊥BC，
∴AE=3
，
∴菱形ABCD的面积是
=18
，
故选B
点评： 本题考查了菱形的邻角互补的性质，作辅助线求出菱形边上的高线的长度是解题的关键．
11．（3分）（2015•桂林）如图，直线y=kx+b与y轴交于点（0，3）、与x轴交于点（a，0），当a满足﹣3≤a＜0时，k的取值范围是（　　）


　
A．
﹣1≤k＜0
B．
1≤k≤3
C．
k≥1
D．
k≥3


考点： 一次函数与一元一次不等式．
分析： 把点的坐标代入直线方程得到a=﹣
，然后将其代入不等式组﹣3≤a＜0，通过不等式的性质来求k的取值范围．
解答： 解：把点（0，3）（a，0）代入y=kx+b，得
b=3．则a=﹣
，
∵﹣3≤a＜0，
∴﹣3≤﹣
＜0，
解得：k≥1．
故选C．
点评： 本题考查了一次函数与一元一次不等式．把点的坐标代入直线方程得到a=﹣
是解题的关键．
12．（3分）（2015•桂林）如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（　　）


A． 8 B． 10 C． 3π D． 5π
考点： 轨迹．
专题： 计算题．
分析： 连结DE，作FH⊥BC于H，如图，根据等边三角形的性质得∠B=60°，过D点作DE′⊥AB，则BE′=
BD=2，则点E′与点E重合，所以∠BDE=30°，DE=
BE=2
，接着证明△DPE≌△FDH得到FH=DE=2
，于是可判断点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2
，当点P在E点时，作等边三角形DEF1，则DF1⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=8，所以F1F2=DQ=8，于是得到当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8
解：连结DE，作FH⊥BC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
过D点作DE′⊥AB，则BE′=
BD=2，
∴点E′与点E重合，
∴∠BDE=30°，DE=
BE=2
，
∵△DPF为等边三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠EDP+∠HDF=90°，
∵∠HDF+∠DFH=90°，
∴∠EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，

，
∴△DPE≌△FDH，
∴FH=DE=2
，
∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2
，
当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，
当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=10﹣2=8，
∴F1F2=DQ=8，
∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．


点评： 本题考查了轨迹：点运动的路径叫点运动的轨迹，利用代数或几何方法确定点运动的规律．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）（2015•桂林）单项式7a3b2的次数是　5　．
考点： 单项式．
分析： 根据单项式次数的定义来求解，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
解答： 解：单项式7a3b2的次数是5，故答案为：5．
点评： 本题考查单项式的次数，较为容易．根据单项式次数的定义来求解，要记清所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
14．（3分）（2015•桂林）2015中国﹣东盟博览会旅游展5月29日在桂林国际会展中心开馆，展览规模约达23000平方米，将23000平方米用科学记数法表示为　2.3×104　平方米．
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：23000=2.3×104，故答案为：2.3×104
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　
15．（3分）（2015•桂林）在一个不透明的纸箱内放有除颜色外无其他差别的2个红球，8个黄球和10个白球，从中随机摸出一个球为黄球的概率是　
　．
考点： 概率公式．
分析： 让黄球的个数除以球的总数即为摸到黄球的概率．
解答： 解：袋子里装有2个红球，8个黄球，10个白球共20个球，从中摸出一个球是黄球的概率是
，
故答案为：

点评： 本题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=
．
16．（3分）（2015•桂林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是　
　．
　


考点： 解直角三角形．
分析： 先求得∠A=∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．
解答： 解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．
∴∠A=∠BCD．
∴tan∠BCD=tan∠A=
=
=
．
故答案为

点评： 本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．
17．（3分）（2015•桂林）如图，以▱ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数y=
的图象交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是　9　．


考点： 平行四边形的性质；反比例函数系数k的几何意义．
分析： 先求出反比例函数和直线BC的解析式，再求出由两个解析式组成方程组的解，得出点D的坐标，得出D为BC的中点，△ABD的面积=
平行四边形ABCD的面积，即可求出四边形AOCD的面积．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），
∴点B的坐标为：（5，4），
把点A（2，4）代入反比例函数y=
得：k=8，
∴反比例函数的解析式为：y=
；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把点B（5，4），C（3，0）代入得：
，
解得：k=2，b=﹣6，
∴直线BC的解析式为：y=2x﹣6，
解方程组
得：

，或
（不合题意，舍去），
∴点D的坐标为：（4，2），
即D为BC的中点，
∴△ABD的面积=
平行四边形ABCD的面积，
∴四边形AOCD的面积=平行四边形ABCO的面积﹣△ABD的面积=3×4﹣
×3×4=9；
故答案为：9
点评： 本题考查了平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形和三角形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
18．（3分）（2015•桂林）如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行有23个点，…，按此规律，第n行有　3•2n﹣1﹣1　个点．


考点： 规律型：图形的变化类．
分析： 根据前四行的点数分别是2=3•21﹣1﹣1，5=3•22﹣1﹣1，11=3•23﹣1﹣1，23=3•24﹣1﹣1，…，可得第n行有3•2n﹣1﹣1个点，据此解答即可．
解答： 解：∵2=3•21﹣1﹣1，5=3•22﹣1﹣1，11=3•23﹣1﹣1，23=3•24﹣1﹣1，…，
∴第n行有3•2n﹣1﹣1个点．
故答案为：3•2n﹣1﹣1．
点评： 此题主要考查了图形的变化类问题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．　　
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）（2015•桂林）计算：（
﹣3）0+2sin30°﹣
+|﹣2|．
考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
分析： 分别根据0指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值、数的开方法则及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答： 解：原式=1+2×
﹣2+2
=1+1﹣2+2
=2．
点评： 本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值、数的开方法则及绝对值的性质是解答此题的关键．
20．（6分）（2015•桂林）先化简，再求值：
÷
，其中x=
﹣3．
考点： 分式的化简求值．\
专题： 计算题．
分析： 原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
解：原式=
•
=
，
当x=
﹣3时，原式=
．　
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（8分）（2015•桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；
（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．

　
考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： （1）根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；
（2）根据平行四边的性质：平行四边形的对边相等，可得AB∥CD，AB=CD，∠CDM=∠CFN；根据全等三角形的判定，可得答案．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=DF，
∵BE∥DF，
∴四边形EBFD为平行四边形；
（2）证明：∵四边形EBFD为平行四边形，
∴DE∥BF，
∴∠CDM=∠CFN．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，
∴∠ABN=∠CDM，
在△ABN与△CDM中，

，
∴△ABN≌△CDM （ASA）．
点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，根据条件选择适当的判定方法是解题关键．
22．（8分）（2015•桂林）某市团委在2015年3月初组成了300个学雷锋小组，现从中随机抽取6个小组在3月份做好事件数的统计情况如图所示：


（1）这6个学雷锋小组在2015年3月份共做好事多少件？
（2）补全条形统计图；
（3）请估计该市300个学雷锋小组在2015年3月份共做好事多少件？

考点： 折线统计图；用样本估计总体；条形统计图．
分析： （1）由折线统计图，即可解答；
（2）根据第3小组做了25件，即可补全条形统计图；
（3）根据样本估计总体，即可解答．
解答： 解：（1）13+16+25+22+20+18=94（件），
这6个学雷锋小组在2015年3月份共做好事94件；
（2）如图所示：


（3）300×
=4700（件）．
估计该市300个学雷锋小组在2015年3月份共做好事4700件
点评： 本题考查了折线统计图和条形统计图，解决本题的关键是从折线统计图中获取信息．
　
23．（8分）（2015•桂林）如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积是　
　．


考点： 作图-旋转变换；作图-平移变换．
专题： 作图题．
分析： （1）如图，画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）如图，画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，AC扫过的面积即为扇形AOA2的面积减去扇形COC2的面积，求出即可．
解答： 解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求的三角形；
（2）如图所示，△A2B2C2为所求的三角形；


（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积S=
﹣
=5π﹣
=
．
故答案为：
．
点评： 此题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，以及扇形面积公式，作出正确的图形是解本题的关键．
　
24．（8分）（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
分析： （1）设每本文学名著x元，动漫书y元，根据题意列出方程组解答即可；
（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．
解答： 解：（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，
可得：
，
解得：
，
答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；
（2）设学校要求购买文学名著x本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：

，
解得：
，
因为取整数，
所以x取26，27，28；
方案一：文学名著26本，动漫书46本；
方案二：文学名著27本，动漫书47本；
方案三：文学名著28本，动漫书48本．
点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．
25．（10分）（2015•桂林）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点．
（1）如图1，求⊙O的半径；
（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；
（3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN=90°，交直线CP于点N，求证：AM=MN．


考点： 圆的综合题．
分析： （1）利用切线的性质以及正方形的判定与性质得出⊙O的半径即可；
（2）利用垂径定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，进而利用勾股定理得出即可；
（3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判定与性质得出即可．
解答： 解：（1）如图1，连接OD，OC，
∵PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点，
∴∠ODP=∠OCP=90°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠DOC=90°，OD=OC，
∴四边形DOCP是正方形，
∵AB=4，∠ODC=∠OCD=45°，
∴DO=CO=DC•sin45°=
×4=2
；

（2）如图1，连接EO，OP，
∵点E是BC的中点，
∴OE⊥BC，∠OCE=45°，
则∠E0P=90°，
∴EO=EC=2，OP=
CO=4，
∴PE=
=2
；


（3）证明：如图2，在AB上截取BF=BM，
∵AB=BC，BF=BM，
∴AF=MC，∠BFM=∠BMF=45°，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°，
∴∠FAM=∠NMC，
∵由（1）得：PD=PC，∠DPC=90°，
∴∠DCP=45°，
∴∠MCN=135°，
∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°，
在△AFM和△CMN中

，
∴△AFM≌△CMN（ASA），
∴AM=MN．


点评： 此题主要考查了圆的综合以及全等三角形的判定与性质以及正方形的判定与性质等知识，正确作出辅助线得出∠MCN=135°是解题关键．
26．（12分）（2015•桂林）如图，已知抛物线y=﹣
x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
（1）直接写出抛物线的解析式：　y=﹣
x2+3x+8　；
（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

　
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=﹣
x2+bx+c即可求出抛物线的解析式为：y=﹣
x2+3x+8；
（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，然后由点A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，从而可得OD=8﹣t，然后令y=0，求出点E的坐标为（﹣2，0），进而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：S=﹣
t2+5t，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=
；
（3）由（2）知：当t=5时，S最大=
，进而可