中考真题数学试卷附参考答案
一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共计24分）
1．（2分）（2015•镇江）的倒数是 3 ．
考点： 倒数．.
专题： 探究型．
分析： 直接根据倒数的定义进行解答即可．
解答： 解：∵×3=1，
∴的倒数是3．
故答案为：3．
点评： 本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．
2．（2分）（2015•镇江）计算：m2•m3= m5 ．
考点： 同底数幂的乘法．.
分析： 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解．
解答： 解：m2•m3=m2+3=m5．
故答案为：m5．
点评： 本题考查了同底数幂相乘，底数不变指数相加的性质，熟记性质是解题的关键．
3．（2分）（2015•镇江）已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ±4 ．
考点： 绝对值．.
分析： 互为相反数的两个数的绝对值相等．
解答： 解：绝对值是4的数有两个，4或﹣4．
答：这个数是±4．
点评： 解题关键是掌握互为相反数的两个数的绝对值相等．如|﹣3|=3，|3|=3．
4．（2分）（2015•镇江）化简：（1﹣x）2+2x= x2+1 ．
考点： 整式的混合运算．.
分析： 原式第一项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．
解答： 解：原式=x2﹣2x+1+2x
=x2+1．
故答案为：x2+1．
点评： 此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．
5．（2分）（2015•镇江）当x= ﹣1 时，分式的值为0．
考点： 分式的值为零的条件．.
分析： 根据分式值为零的条件得x+1=0且x﹣2≠0，再解方程即可．
解答： 解：由分式的值为零的条件得x+1=0，且x﹣2≠0，
解得：x=﹣1，
故答案为：﹣1．
点评： 此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
6．（2分）（2015•镇江）如图，将等边△OAB绕O点按逆时针方向旋转150°，得到△OA′B′（点A′，B′分别是点A，B的对应点），则∠1= 150 °．
考点： 旋转的性质．.
分析： 首先根据旋转的性质得到∠AOA′=150°，然后根据∠A′OB′=60°得到∠1=360°﹣∠AOA′﹣∠A′OB′即可求解．
解答： 解：∵等边△OAB绕点O按逆时针旋转了150°，得到△OA′B′，
∴∠AOA′=150°，
∵∠A′OB′=60°，
∴∠1=360°﹣∠AOA′﹣∠A′OB′=360°﹣150°﹣60°=150°，
故答案为：150．
点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质．
7．（2分）（2015•镇江）数轴上实数b的对应点的位置如图所示，比较大小：b+1 ＞ 0．
考点： 实数大小比较；实数与数轴．.
分析： 根据图示得到b的取值范围，然后利用不等式的性质进行解答．
解答： 解：如图所示，b＞﹣2，
∴b＞﹣1，
∴b+1＞0．
故答案是：＞．
点评： 本题考查了数轴上点点对应实数的取值范围以及不等式的性质．解题时，从图示中得到b的取值范围是解题的关键．
8．（2分）（2015•镇江）如图，▱ABCD中，E为AD的中点，BE，CD的延长线相交于点F，若△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积等于 4 ．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．.
分析： 通过△ABE≌△DFE求得△ABE的面积为1，通过△FBC∽△FED，求得四边形BCDE的面积为3，然后根据▱ABCD的面积=四边形BCDE的面积+△ABE的面积即可求得．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠EDF，
在△ABE和△DFE中，
，
∴△ABE≌△DFE（SAS），
∵△DEF的面积为1，
∴△ABE的面积为1，
∵AD∥BC，
∴△FBC∽△FED，
∴=（）2
∵AE=ED=AD．
∴ED=BC，
∴=，
∴四边形BCDE的面积为3，
∴▱ABCD的面积=四边形BCDE的面积+△ABE的面积=4．
故答案为4．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形全等的性质和三角形相似的性质是解题的关键．
9．（2分）（2015•镇江）关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是 a＞0 ．
考点： 根的判别式．.
专题： 计算题．
分析： 根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0，求出a的范围即可．
解答： 解：∵方程x2+a=0没有实数根，
∴△=﹣4a＜0，
解得：a＞0，
故答案为：a＞0
点评： 此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
10．（2分）（2015•镇江）如图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=﹣1，则∠ACD= 112.5 °．
考点： 切线的性质．.
分析： 如图，连结OC．根据切线的性质得到OC⊥DC，根据线段的和差故选得到OD=，根据勾股定理得到CD=1，根据等腰直角三角形的性质得到∠DOC=45°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠OCA=∠DOC=22.5°，再根据角的和差故选得到∠ACD的度数．
解答： 解：如图，连结OC．
∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC，
∵BD=﹣1，OA=OB=OC=1，
∴OD=，
∴CD===1，
∴OC=CD，
∴∠DOC=45°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠DOC=22.5°，
∴∠ACD=∠OCA+∠OCD=22.5°+90°=112.5°．
故答案为：112.5．
点评： 本题考查了切线的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质．本题关键是得到△OCD是等腰直角三角形．
11．（2分）（2015•镇江）写一个你喜欢的实数m的值 ﹣3（答案不唯一） ，使得事件“对于二次函数y=x2﹣（m﹣1）x+3，当x＜﹣3时，y随x的增大而减小”成为随机事件．
考点： 随机事件；二次函数的性质．.
专题： 开放型．
分析： 直接利用公式得出二次函数的对称轴，再利用二次函数的增减性结合随机事件的定义得出答案．
解答： 解：y=x2﹣（m﹣1）x+3
x=﹣=m﹣1，
∵当x＜﹣3时，y随x的增大而减小，
∴m﹣1＜﹣3，
解得：m＜﹣2，
∴m＜﹣2的任意实数即可．
故答案为：﹣3（答案不唯一）．
点评： 此题主要考查了二次函数的性质以及随机事件的概念，得出函数对称轴是解题关键．
12．（2分）（2015•镇江）如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=3cm．BC=2cm，将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为 7 cm．
考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；平移的性质．.
分析： 作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质和矩形的性质求得∠BAE=∠AC1B，∠AEB=∠BAC1=90°，从而证得△ABE∽△C1BA，根据相似三角形对应边成比例求得BC1=9，即可求得平移的距离即可．
解答： 解：作AE⊥BC于E，
∴∠AEB=∠AEC1=90°，
∴∠BAE+∠ABC=90°
∵AB=AC，BC=2，
∴BE=CE=BC=1，
∵四边形ABD1C1是矩形，
∴∠BAC1=90°，
∴∠ABC+∠AC1B=90°，
∴∠BAE=∠AC1B，
∴△ABE∽△C1BA，
∴=
∵AB=3，BE=1，
∴=，
∴BC1=9，
∴CC1=BC1﹣BC=9﹣2=7；
即平移的距离为7．
故答案为7．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．
二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共计15分）
13．（3分）（2015•镇江）230 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.23×105 B． 23×104 C． 2.3×105 D． 2.3×104
考点： 科学记数法—表示较大的数．.
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将230 000用科学记数法表示为：2.3×105．
故选：C．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）（2015•镇江）由五个小正方体搭成的一个几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．.
分析： 俯视图是从上往下看立体图形得到的平面图，据此选择正确答案．
解答： 解：俯视图是从上往下看物体的形状，该图的俯视图是4个小正方形排成一排组成．
故选D．
点评： 本题主要考查了简单组合体的三视图的知识，解答本题的关键是要掌握俯视图是从上往下看物体的形状，此基础题．
15．（3分）（2015•镇江）计算﹣3（x﹣2y）+4（x﹣2y）的结果是（ ）
A．x﹣2y B． x+2y C． ﹣x﹣2y D． ﹣x+2y
考点： 整式的加减．.
专题： 计算题．
分析： 原式去括号合并即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣3x+6y+4x﹣8y=x﹣2y，
故选A
点评： 此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（3分）（2015•镇江）有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3600个数据，统计如下：
数据x
70＜x＜78
80＜x＜85
90＜x＜95
个数
800
1300
900
平均数
78.1
85
91.9
请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为（ ）
A． 92.16 B． 85.23 C． 84.73 D． 77.97
考点： 用样本估计总体；加权平均数．.
分析： 先计算这3000个数的平均数，即样本的平均数，再利用样本的平均数去估计总体平均数，即可解答．
解答： 解：这3000个数的平均数为：=85.23，
于是用样本的平均数去估计总体平均数，
这这4万个数据的平均数约为85.23，
故选：B．
点评： 本题考查了用样本估计总体，解决本题的关键是求出样本的平均数．
17．（3分）（2015•镇江）如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，=k．已知关于x，y的二元一次方程（m，n是实数）无解，在以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则k•t的值等于（ ）
A． B． 1 C． D．
考点： 位似变换；二元一次方程组的解；坐标与图形性质．.
分析： 首先求出点A′的坐标为（k，kt），再根据关于x，y的二元一次方程（m，n是实数）无解，可得mn=3，且n≠；然后根据以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，可得反比例函数n=的图象只经过点A′或C′；最后分两种情况讨论：（1）若反比例函数n=的图象经过点A′时；（2）若反比例函数n=的图象经过点C′时；求出k•t的值等于多少即可．
解答： 解：∵矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，=k，顶点A的坐标为（1，t），
∴点A′的坐标为（k，kt），
∵关于x，y的二元一次方程（m，n是实数）无解，
∴mn=3，且n≠，
即n=（m≠2），
∵以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，
∴反比例函数n=的图象只经过点A′或C′，
由，可得
mnx﹣3x+4=3n+1，
（1）若反比例函数n=的图象经过点A′，
∵mn=3，
3x﹣3x+4=2kt+1，
解答kt=，
（2）若反比例函数n=的图象经过点C′，
∵mn=3，
3x﹣3x+4=﹣2kt+1，
解答kt=﹣，
∵k＞0，t＞0，
∴kt=﹣不符合题意，
∴kt=．
故选：D．
点评： （1）此题主要考查了位似变换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
（2）此题还考查了二元一次方程组的求解方法，以及坐标与图形的性质，要熟练掌握．
三、解答题（本大题共11小题，共计81分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（8分）（2015•镇江）（1）计算：﹣（﹣π）0﹣2sin60°
（2）化简：（1+）•．
考点： 实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．.
分析： （1）先化简二次根式，计算0指数幂与特殊角的三角函数，再算加减；
（2）先算加法通分，再算乘法约分即可．
解答： 解：（1）原式=4﹣1﹣2×
=4﹣1﹣3
=0；
（2）原式=•
=．
点评： 此题考查二次根式的混合运算与分式的化简，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
19．（10分）（2015•镇江）（1）解方程：=；
（2）解不等式组：．
考点： 解分式方程；解一元一次不等式组．.
专题： 计算题．
分析： （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可确定出不等式组的解集．
解答： 解：（1）去分母得：6+2x=4﹣x，
解得：x=﹣，
经检验x=﹣是分式方程的解；
（2），
由①得：x≥1，
由②得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤1．
点评： 此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）（2015•镇江）某商场统计了今年1～5月A，B两种品牌冰箱的销售情况，并将获得的数据绘制成折线统计图
（1）分别求该商场这段时间内A，B两种品牌冰箱月销售量的中位数和方差；
（2）根据计算结果，比较该商场1～5月这两种品牌冰箱月销售量的稳定性．
考点： 折线统计图；中位数；方差．.
专题： 计算题．
分析： （1）根据折线统计图得出A，B两种品牌冰箱的销售台数，分别求出中位数与方差即可；
（2）根据（1）的结果比较即可得到结果．
解答： 解：（1）A品牌冰箱月销售量从小到大的排列为：13，14，16，17，
B品牌冰箱月销售量从小到大排列为：10，14，15，16，20，
∴A品牌冰箱月销售量的中位数为15台，B品牌冰箱月销售量的中位数为15台，
∵==15（台）；==15（台），
则SA2==2，SB2==10.4；
（2）∵SA2＜SB2，
∴A品牌冰箱的月销售量稳定．
点评： 此题考查了折线统计图，中位数，以及方差，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．
21．（6分）（2015•镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．
（1）求证：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA= 20 °时，四边形BFDE是正方形．
考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．.
分析： （1）由题意易证∠BAE=∠BCF，又因为BA=BC，AE=CF，于是可证△BAE≌△BCF；
（2）由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分，只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°．
解答： （1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，
∴∠BAE=∠BCF，
在△BAE与△BCF中，
∴△BAE≌△BCF（SAS）；
（2）∵四边形BFDE对角线互相垂直平分，
∴只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，
∵△BAE≌△BCF，
∴∠EBA=∠FBC，
又∵∠ABC=50°，
∴∠EBA+∠FBC=40°，
∴∠EBA=×40°=20°．
故答案为：20．
点评： 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的判定．本题关键是根据SAS证明△BAE≌△BCF．
22．（7分）（2015•镇江）活动1：
在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三位同学丙→甲→乙的顺序依次从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，计算甲胜出的概率．（注：丙→甲→乙表示丙第一个摸球，甲第二个摸球，乙最后一个摸球）
活动2：
在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，4的4个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，请你对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序： 丙 → 甲 → 乙 ，他们按这个顺序从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，则第一个摸球的同学胜出的概率等于 ，最后一个摸球的同学胜出的概率等于 ．
猜想：
在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，…，n（n为正整数）的n个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三名同学从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，猜想：这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系．
你还能得到什么活动经验？（写出一个即可）
考点： 列表法与树状图法．.
分析： （1）应用树状图法，判断出甲胜出的概率是多少即可．
（2）首先对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序：丙→甲→乙，然后应用树状图法，判断出第一个摸球的丙同学和最后一个摸球的乙同学胜出的概率各等于多少即可．
（3）首先根据（1）（2），猜想这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系为：P（甲胜出）=P（乙胜出）=P（丙胜出）；然后总结出得到的活动经验为：抽签是公平的，与顺序无关．
解答： 解：（1）如图1，
，
甲胜出的概率为：
P（甲胜出）=．
（2）如图2，
，
对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序：丙→甲→乙，
则第一个摸球的丙同学胜出的概率等于，最后一个摸球的乙同学胜出的概率也等于．
（3）这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系为：
P（甲胜出）=P（乙胜出）=P（丙胜出）．
得到的活动经验为：抽签是公平的，与顺序无关．（答案不唯一）
故答案为：丙、甲、乙、．
点评： 此题主要考查了列表法与树状图法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．（2）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．（3）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
23．（6分）（2015•镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．
（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于 ．
考点： 正多边形和圆；圆锥的计算；作图—复杂作图．.
分析： （1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；
（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．
解答： （1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，
（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOD=3=135°，
∵OA=5，
∴的长=，
设这个圆锥底面圆的半径为R，
∴2πR=，
∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．
故答案为：．
点评： 本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．
24．（6分）（2015•镇江）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．.
分析： 作AD⊥BC于D，根据题意求出∠ABD=45°，得到AD=BD=30，求出∠C=60°，根据正切的概念求出CD的长，得到答案．
解答： 解：作AD⊥BC于D，
∵∠EAB=30°，AE∥BF，
∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，
∴∠ABD=45°，又AB=60，
∴AD=BD=30，
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，
∴∠C=60°，
在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=30，
则tanC=，
∴CD==10，
∴BC=30+10．
故该船与B港口之间的距离CB的长为30+10海里．
点评： 本题考查的是解直角三角形的知识的应用，掌握锐角三角函数的概念、选择正确的三角函数是解题的关键．
25．（6分）（2015•镇江）如图，点M（﹣3，m）是一次函数y=x+1与反比例函数y=（k≠0）的图象的一个交点．
（1）求反比例函数表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一个动点，设OP=a（a≠2），过点P作垂直于x轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A，B，过OP的中点Q作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，△ABC′与△ABC关于直线AB对称．
①当a=4时，求△ABC′的面积；
②当a的值为 3 时，△AMC与△AMC′的面积相等．
考点： 反比例函数综合题．.
分析： （1）由一次函数解析式可得点M的坐标为（﹣3，﹣2），然后把点M的坐标代入反比例函数解析式，求得k的值，可得反比例函数表达式；
（2）①连接CC′交AB于点D．由轴对称的性质，可知AB垂直平分OC′，当a=4时，利用函数解析式可分别求出点A、B、C、D的坐标，于是可得AB和CD的长度，即可求得△ABC的面积；
②由题意得点C的坐标为（，），则C′（，），点C、C′到直线y=x+1的距离分别为：、．根据△AMC与△AMC′的面积相等列出方程并解答．
解答： 解：（1）把M（﹣3，m）代入y=x+1，则m=﹣2．
将（﹣3，﹣2）代入y=，得k=6，则反比例函数解析式是：y=；
（2）①连接CC′交AB于点D．则AB垂直平分CC′．
当a=4时，A（4，5），B（4，1.5），则AB=3.5．
∵点Q为OP的中点，
∴Q（2，0），
∴C（2，3），则D（4，3），
∴CD=2，
∴S△ABC=AB•CD=×3.5×2=3.5，则S△ABC′=3.5；
②∵△AMC与△AMC′的面积相等，
∴=，
解得a=3．
故答案是：3．
点评： 本
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