小升初数学复习
数和数的运算
整数与自然数整 数：自然数和0都是整数。自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。  一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 
计数单位 ：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 
数位  ：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 
数的整除 ：整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 
如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。 因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
被2、3、5、 7、 9、11、13整除
被2整除的数：个位上是0、2、4、6、8的数能被2整除。
被5整除的数：个位上是0或者5的数能被5整除。
被3或9整除的数：一个数各位上的数的和，能被3（或9）整除，这个数就能被3（或9）整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
例如：93、84、12能被3整除；738、153、1242、35685等能被9整除。
被7整除的数：方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除。
例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；
又例如 判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除。
如：判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。
如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．
如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．
方法3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7的倍数。
例如，判断456669能不能被7整除，456669-420000=36669，只要32669能被7整除即可。对32669可继续，32669-28000=4669，4669-4200=469，469-420=49，49当然被7整除，所以456669能被7整除。
被2、3、5、 7、 9、11、13整除
被11整除的数：除了前面讲的被7整除的方法二适用于11之外，还可以把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。 —→奇位数字的和9+6+8=23 ，—→偶位数位的和4+1+7=12    23-12=11,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。
被13整除的数：除了前面讲的被7整除的方法二适用于13之外，还可以把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
例如：判断1284322能不能被13整除。128432+2×4=128440 ，12844+0×4=12844，1284+4×4=1300，1300÷13=100 所以，1284322能被13整除。
倍数与约数
如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
偶数、奇数、质数、合数、约数
自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
偶数：能被2整除的数。 0是偶数。
奇数：不能被2整除的数叫做奇数。
性质：1 奇数≠偶数．
　　2. 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．
　 3 .奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．
　　4 .奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．
　　5. 若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．
　　6. 如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．
　　7. 如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．
　　8. 两个整数的和与差的奇偶性相同．
　　9. 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数
质数（或素数）：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。（自然数按其约数的个数的不同分：质数、合数和1。）
合数的质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：把28分解质因数 ：28=2×2×7
互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。
成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质 ； 相邻的两个自然数互质； 两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。 如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。  如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。
公倍数、最小公倍数
定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……
3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。 
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
质数性质的应用（一）
质数 合数 分解质因数
例1．两个质数的和是33，求这两个质数的积。
解答：两个质数的和是33，而33是奇数，必为一个奇数与一个偶数之和．因为偶质数只有2，另一个质数只能为33-2=31，所以2与31的积为62。
例2．用1，2，4，5，8中的三个数字组成最大的三位质数。
解答：因为个位数字是2，4，5，8的三位数必能被2或5整除，所以个位数字只能是1．将个位数字是1的三位数从大到小逐个试验：
　　851=23×27，851不是质数；
　　841=29×29，841不是质数；
　　821不能被2至29的任何一个质数整除，所以821是所求的最大的三位质数。
例3．有四个人，他们的年龄一个比一个大一岁，他们的年龄的乘积等于43680，求这四个人的年龄。
解答：因为这四个人的年龄的乘积等于43680，所以这四个人的年龄是43680的约数．先将43680分解质因数：
　　43680=25×3×5×7×13
　　=13×（2×7）×（3×5）×24
　　=13×14×15×16
　　所以这四个人的年龄分别是13，14，15，16．
质数性质的应用（二）
4．求8400有多少个约数？
解答：因为8400=24×3×52×7，所以8400的约数个数为：
（4＋1）×（1+1）×（2+1）×（1+1）=60个
5．求有18个约数的最小自然数？
解答：因为18=18×1=2×9=3×6=2×3×3，要使所求数最小，这个数为A=a12×a22×a3，其中a1，a2，a3为互不相同的质数，所以a1=2，a2=3，a3=5，A=22×32×5=180，即有18个约数的最小自然数为180。
6．三个质数的乘积恰好等于它们的和的11倍，求这三个质数。
解答：设这三个质数分别为a、b、c，则
　　abc＝11（a＋b＋c）
　　所以a、b、c中必有一个是11，不妨设是c=11，则上式变为
　　ab=a＋b＋11
　　变形，得
　　ab-a-b＝11
　　a（b-1）-（b-1）-1＝11
　　（b-1）（a-1）=12=12×1=2×6=3×4
　　当b-1=12，a-1=1时，b=13，a=2；
　　当b-1=2，a-1=6时，b=3，a=7；
　　当b-1=3，a-1=4时，b=4，a=5．
　　所以这三个质数为2，11，13或3，7，11．
质数应用（一）
例1：两个质数的积是46，求这两个质数的和。
分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数 只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决。
解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一个质数为46÷2=23，所以2与23的和是25。
例2：用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？
分析：首先考虑个位是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数。
解:如果组成的三位数的个位数字是2, 4, 5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，，所以只有523是质数。
质数应用（二）
判断100以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数。判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数，为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除，97÷11=8……9，97÷13=7……6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7去试除。
判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用20以内的八个质数去试除；判断500以内的质数，只需要2到23的质数去试除，其余可用类似的方法推出，同学们可以思考一下1000以内的质数如何判断？
例：将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。
分析：如果采用观察，计算调整的方法是比较麻烦的，要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据质因数的个数，进行适当的搭配，使能找出问题的答案。
解：将八个数分析质因数：40=23×5 44=22×11 45=32×5 63=32×7 65=5×13 78=2×3×13 99=32×11 105=3×5×7
这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13。因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105。
质数应用（三）
一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。用数字式子表示为：
如果A分解质因数为： A=a1r1×a2r2×…×anrn 则A的全体约数的个数为： （r1+1）×（r2+1）×…×（rn+1）
例：有30个约数的最小自然数是多少？
分析：设所求的数为A，则A有30个约数，因为30=30×1=2×15=3×10=5×6=2×3×5，要使A最小，一般使A的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，所以A必为下列形式： A=a1×a22×a34 其中a1，a2，a3为互不相同的质数。 要使A最小， a1，a2，a3应尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样 A=24×32×51=720
解：因为30=30×1=15×2=10×3=6×5=5×3×2，而且题中要求有30个约数的最小的数，所以这个数是能表示为A=a1×a22×a34 ，其中a1，a2，a3为互不相等的质数，为了使A最小， a3=2，a2=3，a1=5 ，所以A=24×32×51=720。
小数
小数的意义：把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。 一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……  在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
小数的分类  :纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：0.25 、 0.368 都是纯小数。 
带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。
有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。
无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……
无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：∏
循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……  一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循环节是“ 54 ” 。 
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 例如： 3.111 …… 0.5656 …… 
混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 3.1222 …… 0.03333 …… 写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环 节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。
分数
分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。分母：表示把单位“1”平均分成多少份；分子：表示有这样的多少份。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
分类：真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。  假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。  带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
 约分和通分：把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。  分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。  把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 
百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用“%”来表示。百分号是表示百分数的符号。
数的改写 ：
1. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。
2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。 
3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。
数的互化
数的互化： 一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。例如:
分母可以化成2×3×5 ，其中有2、5以外的质因数，就不可能化成有限小数。而 的分母只能化成2×2×5，就可化成有限小数。
小数化成百分数。
百分数化成小数。
分数化成百分数。
百分数化成小数 。
有关数的例题（一）
例1、0，1，54，208，4500都是（    ）数，也都是（     ）数 。
例2、分数的单位是1/8的最大真分数是（     ），它至少再添上（     ）个这样的分数单位就成了假分数。
例3、一个数由三个6和三个0组成，如果这个数只读出两个零，那么这个数是（    ）。（1）606060     （2）660006   （3）600606   （4）660600
例4、3.3时是（         ）（1）3小时30分   （2）3小时18分   （3）3小时3分
例5、在9.9的末尾添上一个0，原数的计数单位就（         ）。（1）扩大10倍   （2）不变 （3）缩小10倍
例6、找规律填数。
（1）1、2、4、（   ）、16、（ ）、64
（2）有一列数，2、5、8、11、14、……问104在这列数中是第（   ）个数。
例7、一个正方形的边长是一个奇数，这个正方形的周长一定是（   ）（1）质数 （2）奇数 （3）偶数
有关数的例题（二）
例8、8和5是（      ）（1）互质数   （2）质数 （3）质因数
例9、6是36和48的（     ）（1）约数   （2）公约数 （3）最大公约数
例10、如果a、b都是自然数，并且a÷b=4,那么数a和数b的最大公约数是（     ）。 （1）4   （2）a （3）b
例11、如果用a表示自然数，那么偶数可以表示为（     ）（1）a+2   (2)2a   (3)a-1 (4)2a-1
例12、一个能被9、12、15整除的最小数是（     ）（1）3   （2）90   （3）180
例13、一个数被6、7、8除都余1，这个数最小是（      ）。
例14、有9、7、2、1、0五个数字，用其中的四个数字，组成能同时被2、3、5整除的最小的四位数是（           ）。
例15、两个奇数的和（       ）（1）是奇数 （2）是偶数 （3）可能是奇数，也可能是偶数
例|16、一个合数至少有（   ）个约数。（1）1   （2）2   （3）3
一次数学竞赛，结果学生中1/7获得一等奖，1/3获得二等奖，1/2获得三等奖，其余获纪念奖。已知参加这次竞赛的学生不满50人，问获纪念奖的有多少人？
数的整除、约分和通分
1. 把一个合数分解质因数，通常用短除法。短除法是竖式除法的简化形式。它的计算特征是只写出除数和商，省略除法的一些笔算过程。例如：

2. 求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数 。 
3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
4.约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
5.通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
数性质、规律与运算
性质：（一）商不变的规律 ：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。
（二）小数的性质：1、在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 
2、小数点位置的移动引起小数大小的变化 。
（三）分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。
四则运算：1、加法： 把两个数合并成一个数的运算叫做加法。  加数+加数=和   一个加数=和－另一个加数 
2、减法： 已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 
加法和减法互为逆运算。 
3、乘法： 求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。    在乘法里，0和任何数相乘都得0.   1和任何数相乘都的任何数。  一个因数× 一个因数 =积      一个因数=积÷另一个因数 
4、 除法： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。  乘法和除法互为逆运算。 
在除法里，0不能做除数。  被除数÷除数=商  除数=被除数÷商  被除数=商×除数 
乘积是1的两个数叫做互为倒数。
分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
运算的应用（一）
总价= 单价×数量 
路程= 速度×时间
工作总量=工作时间×工效
总产量=单产量×数量 
（一）平均数问题： 总数量除以总份数。
（二）归一问题
1、 一次归一问题：用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。”  两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。”  正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。  反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。  解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后