中考数学综合专题训练【几何综合题】精品专题解析

几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键．
解几何综合题，还应注意以下几点：
⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．
⑵ 掌握常规的证题方法和思路．
⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等）．
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】（南充，10分）⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．
（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长．
解：（1）证明：连接OD，AD． AC是直径，
∴　AD⊥BC．　 ⊿ABC中，AB＝AC，
∴　∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC．　　
又∠BED是圆内接四边形ACDE的外角，
∴∠C＝∠BED．
故∠B＝∠BED，即DE＝DB． 　
点F是BE的中点，DF⊥AB且OA和OD是半径，
即∠DAC＝∠BAD＝∠ODA．
故OD⊥DF ，DF是⊙O的切线．　　　　　　　
（2）设BF＝x，BE＝2BF＝2x．
又　BD＝CD＝
BC＝6， 根据
，
．
化简，得　
，解得　
（不合题意，舍去）．
则　BF的长为2．　
点拨：过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条件才行．


【例2】（重庆，10分）如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD＝∠ACD,∠BDE＝∠CDE．求证：BD＝CD。
证明：因为∠ABD＝∠ACD，∠BDE＝∠CDE
而∠BDE＝∠ABD＋∠BAD，∠CDE＝∠ACD＋∠CAD
所以 ∠BAD＝∠CAD，而∠ADB＝180°－∠BDE
∠ADC＝180°－∠CDE，所以∠ADB ＝∠ADC
在△ADB和△ADC中，
∠BAD＝∠CAD
AD＝AD
∠ADB ＝∠ADC
所以 △ADB≌△ADC 所以 BD＝CD。
（注：用“AAS”证三角形全等，同样给分）
点拨：要想证明BD=CD，应首先观察它们所在的图形之间有什么联系，经观察可得它们所在的三角形有可能全等．所以应从证明两个三角形全等的角度得出，当然此题还可以采用“AAS”来证明．
【例3】（内江，10分）如图⊙O半径为2，弦BD＝
，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上。求：四边形ABCD的面积。
解:连结OA、OB，OA交BD于F。









【例4】（博兴模拟，10分）国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造．莲花村六组有四个村庄A、B、CD正好位于一个正方形的四个顶点．现计划在四个村庄联合架一条线路，他们设计了四种架设方案，如图2－4－4中的实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．


解：不妨设正方形的边长为1，显然图2－4－4⑴、⑵中的线路总长相等都是3．
图2－4－4⑶中，利用勾股定理可求得线路总长为2≈2．828．
图2－4－4（4）中，延长EF交BC于H，由 ∠FBH＝30°，BH=，
利用勾股定理，可求得EA=ED=FB==FC=

所以⑷中线路总长为：
4EF+EF=4×


显然图2－4－4⑷线路最短，这种方案最省电线．
点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股未理讲行计算线路长，然后通过比较，得出结论．
【例5】（绍兴）如图矩形ABCD中，过A，B两点的⊙O切CD于E，交BC于F，AH⊥BE于H，连结EF。
⑴求证：∠CEF＝∠BAH,⑵若BC＝2CE＝6，求BF的长。
⑴证明：∵CE切⊙O于E，
∴∠CEF=∠EBC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∵AH丄BE，∴∠ABE+∠BAH=90°
∴∠BAH=∠EBC，∴∠CEF＝∠BAH
⑵解： ∵CE切⊙O于E
∴CE2=CF·BC，BC=2CE=6
∴CE2=CF·6，所以CF=  ∴BF=BC-CF=6－=
点拨：熟练掌握切线的性质及切线长定理是解决此题的关键．

Ⅲ、综合巩固练习：（100分；90分钟）
一、选择题（每题3分，共21分）
1．如图2－4－6所示，是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1．2米， 桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A．0．036π平方米; B．0．81π平方米;
C．2π平方米; D、3．24π平方米
2．某学校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆三种方案，其中使花坛面积最大的 图案是（ ）
A．正三角形; B．正方形; C．圆; D．不能确定
3．下列说法：①如果两个三角形的周长之比是1：2，那么这两个三角形的面积之比是1：4；②平行四边形是中心对称图形；③经过三点有且只有一个圆；④相等的角是对顶角，其中错误是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．等腰三角形的一个内角为70°，则这个三角形其余的内角可能为（ ）
A．700，400 B．700，550
C．700，400或550，550 D．无法确定
5．如图2－4－7所示，周长为68的矩形被分成了7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．98 B．196; C．280 D．284
6．在△ABC中，若
，则∠C的度数为（ ）
A．60o B．30 o C．90 o D．45 o
7．下列命题中是真命题的个数有（ ）
⑴直角三角形的面积为2，两直角边的比为1。2，则它的斜边长为；⑵直角三角形的最大边长为，最短边长为l，则另一边长为；（3）在直角三角形中，若两条直角边为n2－1和2n，则斜边长为n2＋1；⑸等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共27分）
8．如图2－4－8所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm．将△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置，且使点A、B、C′三点在一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是_____．
9．若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别记为
则
由大到小的排列顺序是：__________.
10若菱形的一个内角为60°，边长为4，则它的面积是__________．
11 已知数4，6，请再写出一个数，使这三个数中一个数是另外两个数的比例中项，这个数是________（只需填写一个数）．
12一油桶高 0．8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口（小口靠近上壁）斜插入桶内，一端到桶底内壁，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0．87m，则桶内油面的高度为__________.
13 等腰三角形底边中点与一腰的距离为5cm，则腰上的高为__________cm．
14 在平坦的草地上有 A、B、C三个小球，若已知 A球和 B球相距3米，A球与C球相距1米，则B球与C球可能相距________米．（球的半径可忽略不计，只要求填出一个符合条件的数）
15 如果圆的半径为3cm，那么60°的圆心角所对的弧长为____cm．
16 如图2－4－9所示，在正方形 ABCD中，AO⊥BD、OE、FG、HI都垂直于 AD，EF、GH、IJ都垂直于AO，若已知 SΔAIJ=1，则S正方形ABCD=______.
三、解答题（每题13分，52分）
17. 已知：如图 2－4－10所示，在 Rt△ABC中，AB=AC，∠A＝90°，点D为BA上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点．试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．


18. 今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度可以忽略不计，请设计三种不同的修路方案，画图并简述步骤．

19. 如图 2－4－11所示，已知测速站P到公路l的距离PO为40米，一辆汽车在公路l上行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒，并测得∠APO=60○，∠BPO=30○，计算此车从A到B的平均速度为每秒多少米（结果保留四个有效数字）并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度．


20. 如图2－4－12所示，EF为梯形ABCD的中位线．AH平分∠DA B交EF于M，延长DM交AB于N．求证：AADN是等腰三角形．