中考数学专项突破：应用题一题多解附参考答案
应用问题（1）

知识考点：
掌握列方程和方程组解应用题的方法步骤，能够熟练地列方程和方程组解行程问题和工程问题。
精典例题：
【例1】甲、乙两组工人合做某项工作，4天以后，因甲另有任务，乙组再单独做5天才能完成。如果单独完成这项工作，甲组比乙组少用5天，求各组单独完成这项工作所需要的天数。
分析：可设甲组单独完成需要
天，则乙组单独完成需要
天，由题意得：


注意解分式方程的方法和解应用题的步骤。
答案：甲10天，乙15天。
【例2】A、B两地间的路程为15千米，早晨6点整，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地。乙到达A地后，停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地，如果乙骑车比甲步行每小时多走10千米，问几点钟甲、乙两人同时到达B地？
分析：可从两方面考虑：
（1）时间方面：甲步行15千米的时间比乙骑车走30千米的时间多1小时（由20分钟＋40分钟得到），设甲步行每小时走
千米，易列分式方程；
（2）速度方面：乙骑车比甲步行每小时多走10千米，设甲所用时间为
小时，易列分式方程。
答案：9点钟甲、乙两人同时到达B地。
【例3】A、B两地间的路程为36千米，甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分钟到达B地，乙再走1小时36分钟到达A地，求两人的速度。
分析：画线段图作辅助分析，可得多种解法，若一元方程不易列出时可考虑用方程组解，例如设甲速为
千米／小时，乙速为
千米／小时，则有：


答案：

探索与创新：
【问题一】先根据要求编写应用题，再解答你所编写的应用题。
编写要求：
（1）分别编写一道行程问题的应用题和一道工程问题的应用题，使得根据其题意列出的方程为：
；
（2）所编应用题完整，题意清楚，联系生活实际且其解符合实际。
略解：本题没有唯一确定的答案，但可有丰富多彩的思路，例如把此方程看作行程问题按时间等量关系来列，则可把120看作路程，
、
看作两个不同对象的速度，前者比后者走完全程多用1小时，而两人可以是同时出发先后到达；也可是先后出发同时到达等等……；如果从路程、从速度来看又有不同的解释。注意：所编题目应符合编写要求。正确设未知数、列、解方程，并检验作答。
答案：
＝30，
＝－40（舍去）
【问题二】某学生做作业时不慎打翻墨水瓶，使一道作业题上看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米／小时，运货汽车的速度为35千米／小时， ”（横线部分表示被墨水覆盖的若干文字），请将这道题补充完整，并列方程解答。
略解：此题也无唯一答案，仅给一例供参考，补充部分：“若两车分别从两地同时开出，相向而行，经过几小时两车相遇？”
解：设经过
小时两车相遇，依题意可得：


解得：

答：经过
小时两车相遇。
跟踪训练：
一、填空题：
1、某工程甲独做
天完成，乙独做
天完成，两人合做 天可完成这个工程。
2、快艇往返甲、乙两地之间，顺水速度为60千米／小时，逆水速度为40千米／小时，则该船往返一趟的平均速度是 。
二、行程问题：
1、甲、乙两人同时从张庄出发，步行15千米来到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，两人每小时各走多少千米？
2、一汽船往返于相距120千米的两地，共航行10小时，已知水流速度是5千米／小时。求这只汽船在静水中的航行速度。
3、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，若同向而行，则经过
小时快者追上慢者；若相向而行，则经过
小时两人相遇。那么快者与慢者的速度比是多少？
4、甲、乙两人同时从同一地点出发，同向而行，甲骑自行车、乙步行，如果乙先走12千米，那么甲用1小时就能追上乙；如果乙先走1小时，那么甲只用
小时就能追上乙。求两人的速度各是多少？
5、甲、乙两人分别在A、B两地同时相向出发，当甲到半路时，乙离终点还有24千米；而乙走到半路时，甲离终点还有15千米。问甲到达终点时，乙离终点还有多少千米？
6、两列火车分别行驶在两平行的轨道上，其中快车车长100米，慢车车长150米，当两车相向而行时，快车驶过慢车某窗口（快车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点）所用的时间为5秒。
（1）求两车的速度之和及两车相向而行慢车驶过快车某窗口（慢车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点）所用时间；
（2）如果两车同向而行，慢车的速度不小于8米／秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需时间至少为多少秒？
三、工程问题：
1、甲、乙两组工人合做某项工作12天后，因甲组工人另有任务而由乙组工人继续做了3天才完成，如果单独完成这项工作，甲组比乙组快6天，求各组单独完成这项工作所需要的天数。
2、某厂赶制50个零件，制好18个以后，改进操作方法每天可以多制2个，这样共用7天完成任务，求改进操作方法以后每天制作的零件数。
3、某乡搞改水工程，计划用25个劳力在规定时间内挖1 000个土方，施工4天后，抽调5个劳力搞其它工作，但由于每人每天多挖1个土方，结果按计划完成，求原计划每人每天挖多少土方？
4、甲、乙共同完成一项工作需要4天，甲单独工作3天后剩下部分由乙去做，乙还需工作的天数等于甲单独完成此项工程的天数。两人单独完成这项工程各需的天数是多少？
5、正在修建中的高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成；需费用120万元；若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元。问：
（1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元？
6、某商店出售一批规格相同的钢笔，如果每支钢笔的价格增加1元，那么120元钱可以买到的钢笔数量将会减少6支，求现在每支钢笔的价格是多少元？
参考答案
一、填空题：
1、
；2、48千米／小时；
二、行程问题：
1、甲速6千米／小时，乙速5千米／小时；
2、25千米／小时；
3、

4、甲速18千米／小时，乙速6千米／小时；
5、8千米；
6、（1）设快、慢车的速度分别为
米／秒，
米／秒，则

即

设慢车驶过快车某个窗口需
秒，则

∴
＝7.5秒
（2）所求时间
（
≥8）
则仅当
＝8时，
的值最小，此时
＝62.5秒
三、工程问题：
1、甲24天、乙30天；
2、8个；
3、4方；
4、甲6天、乙12天；
5、甲30天、135万元，乙120天、60万元；
6、4元

应用问题（2）

知识考点：
掌握列方程（组）解应用题的方法和步骤，并能灵活运用不等式（组）、函数、几何等数学知识，解决有关数字问题、增长率问题及生活中有关应用问题。
精典例题：
【例1】某校2002年秋季初一年级和高一年级招生总数为500人，计划2003年秋季初一年级招生人数增加20％，高一年级招生人数增加15％，这样2003年秋季初一、高一年级招生人数比2002年增加18％，求2003年秋季初一、高一的计划招生人数各是多少？
分析：本题解法较多，可设直接未知数，也可设间接未知数，可列一元方程、也可列二元方程组，无论选择何种思路均要从增长率基本公式入手。
答案：初一360人，高一230人。
【例2】今年入夏以来，湖北部分地区旱情严重，为缓解甲、乙两地旱情，某水库向甲、乙两地送水。甲地需水量为180万立方米，乙地需水量为120万立方米，现已两次送水：往甲地送水3天，乙地送水2天，共送水84万立方米；往甲地送水2天，乙地送水3天，共送水81万立方米。问完成甲、乙两地送水任务还各需多少天？
分析：对于比较生蔬的题型尤其要仔细审题，在充分理解题意后，再从不同侧面分析。
例如对甲地有如下信息：（1）共需送水180万立方米，前后两次已送水2＋3＝5（天），问还需送水多少天（可设
天），则：
（1）往甲地每天的送水量为
；
（2）前后两次各送了水
和
（万立方米）
对乙地进行类似地分析，即可得方程组。
答案：甲地5天，乙地3天。
【例3】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
分析：（1）设每件衬衫应降价
元，则由盈利
可解出
但要注意“尽快减少库存”决定取舍。
（2）当
取不同的值时，盈利随
变化，可配方为：
求最大值。
但若联系二次函数的最值求解，可设：




结合图象用顶点坐标公式解，思维能力就更上档次了。
所以在应用问题中要发散思维，自觉联系学过的所有数学知识，灵活解决问题。
答案：（1）每件衬衫应降价20元；（2）每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最高。
探索与创新：
【问题一】现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元。
（1）设运送这批货物的总费用为
万元，这列货车挂A型车厢
节，试写出
与
之间的函数关系式；
（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？
（3）在上述方案中，哪种方案运费最省，最少运费为多少元？
略解：（1）设用A型车厢
节，则用B型车厢
节，总运费为
万元，则：


（2）依题意得：

解得：24≤
≤26
∴
＝24或25或26
∴共有三种方案安排车厢。
（3）由
知，
越大，
越小，故当
＝26时，运费最省，这时，

＝26.8（万元）
【问题二】在车站开始检票时，有
（
＞0）名旅客在候车室排队等候检票进站。检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站。设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的。若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口?
分析：该题联系生活实际，设计巧妙，要求学生有较强的阅读理解能力，综合应用不等式、方程、函数等方面的知识建立数学模型；对学生如何运用所学数学知识解决实际问题（即将实际问题转化为数学问题）的能力提出了较高的要求。本题解题方法多，给学生发挥才能的空间大，是一道考查学生分析问题和解决问题能力的好题。
解法1：设检票开始后每分钟新增加的旅客为
人，检票的速度为每个检票口每分钟
人，5分钟内检票完毕要同时开放
个检票口，依题意得:
，由（1）、（2）消去
得
（4），代入（1）得
（5），将（4）和（5）代入（3）得
≤
，而
，所以
≥3.5，又
为整数，因此
＝4，故至少需同时开放4个检票口。
解法2：利用检票时间相等建立等量关系，即不管开放几个检票口，每位旅客的检票时间相等，得
（字母含义与解法1相同），以下解法略。
解法3：设开始检票后每分钟新增加旅客为
人，检票的速度为每分钟
人，开放检票口的个数为
个，检票时间为
分钟，依题意，
与
之间的函数关系为
，而
＝30，
＝1；
＝10，
＝2，因此可求出函数关系为
，即
，当
≤5时，
≥3.5，故至少需同时开放4个检票口.本题还有其它解法略。

跟踪训练：
一、选择题：
1、据《人民日报》2003年6月11日道，今年1～4月福州市完成工业总产值550亿元，比去年同期工业总产值增长21.46％，请估计去年同期工业总产值在（ ）
A、380～400（亿元） B、400～420（亿元）
C、420～440（亿元） D、440～460（亿元）
2、如图是某公司近三年的资金投放总额与利润统计示意图，根据图中的信息判断：①2001年的利润率比2000年的利润率高2％；②2002年的利润率比2001年的利润率高8％；③这三年的利润率14％；④这三年中2002年的利润率最高。其中正确的结论共有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个





3、甲、乙两个药品仓库共存药品45吨，为共同抗击“非典”，现从甲仓库调出库存药品的60％，从乙仓库调出40％支援疫区。结果乙仓库所余药品比甲仓库所余药品多3吨，那么甲、乙仓库原来所存药品分别为（ ）
A、24吨，21吨 B、21吨，24吨
C、25吨，20吨 D、20吨，25吨
二、解答题：
1、一次竞赛共有25道试题，每道题答对得4分，不答或答错倒扣2分，如果一学生在这次竞赛中得分不低于60分，那么他至少答对了几道题？
2、一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用。已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物分别用了
、
次；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨。
（1）乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍？
（2）现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元（按每运1吨付运费20元计算）？
3、某厂一月份生产甲种产品16件，第一季度中每月的增长率相同；生产乙种产品每月比上月增产10件，又知二月份甲、乙两种产品产量的比为2∶3，三月份两种产品的总产量是65件，求乙种产品一月份的产量。
4、某同学把勤工俭学挣的100元钱，按活期存入银行，如果月息是0.15％，数月后本金与利息的和为100.9元，那么该同学的钱在银行存了几个月？
5、王老师把500元钱按一年定期存入银行，到期后取出了300元捐给了灾区，剩下的200元和应得的利息又全部按一年定期存入，由于利息下调，第二次存款的年利率是第一次年利率的
，这样到期后可得利息15元，求第一次存款的年利率。
6、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％。安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。
7、某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场。这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下：
作物品种
每亩地所需职工数
每亩地预计产值

蔬菜


1100元

烟叶


750元

小麦


600元

请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计产值最多。
8、商场销售某种商品，今年4月份销售了若干件，共获毛利润3万元（每件商品的毛利润＝每件商品的销售价格－每件商品的成本价格），5月份商场在成本价格不变的情况下，把这种商品的每件销售价降低了4元，但销售量比4月份增加了500件，从而所获毛利润比4月份增加了2000元，问调价前，销售每件商品的毛利润是多少元？
9、阅读下面材料：
在计算3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21时，我们发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值。具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式
来计算它们的和（公式中的
表示数的个数，
表示第一个数的值，
表示这个相差的定值）。
那么3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋
×2＝120
用上面的知识解决下列问题：
为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林。从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997三年的坡荒地面积和植树面积的统计数据。假设坡荒地全部种上树后，不再水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木。

1995年
1996年
1997年

每年植树的面积（公顷）
l 000
1 400
1 800

植树后坡荒地的实际面积（公顷）
25 200
24 000
22 400


参考答案
一、选择题：DBA
二、解答题：
1、19道；2、（1）2倍，（2）付给甲2160元，付给乙、丙各4320元；3、20件；
4、（1）6个月，；5、10％；
6、解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过
名学生，一道侧门可以通过
名学生，由题意得：


解得：

答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生。
（2）这栋楼最多有学生4×8×45＝1440（名）
拥挤时5分钟4道门能通过：
＝1600（名）
∵1600＞1440
∴建造的4道门符合安全规定。
7、解：设种植蔬菜
亩，烟叶
亩，则种植小麦
亩，根据题意列方程，得

整理，得
。
则种植小麦
(亩)
由不等式组

解得20≤
≤30。
若设预计总产值为
（元），则






∵50＞0，由一次函数性质可知，
随
的增大而增大，
∴当
=30时，
=0，
=20，
=50×30+43500=45000（元）。
此时，种植蔬菜、小麦的人数分别为15人、5人，不种烟叶。
8、20元；
9、解法一：从表中可知，1995年植树1000公顷，以后每年均比上一年多植树400公顷。1995年实有坡荒地25200公顷，种树1400公顷后，实有坡荒地只减少了25200－24000＝1200（公顷），因此，每年新产生的坡荒地为200公顷，即树木实际存活1200公顷。设从1996年起（1996年算第1年），
年全县的坡荒地全部植树，有1400n＋
×400－200
≥25200。即：
≥126。估算：当
＝8时，82＋5×8＝104≤126。当
＝9时，92＋5×9＝126。故到2004年，可将全县所有的坡荒地全部种上树木。
解法二：从表中可知，1995年实有坡荒地25200公顷，1996年减少1200公顷，以后每年均比上一年多减少400公顷。设第
年的减少为0，则25200一（1200
＋
×400）≤0。即
≤0。当
＝9时，126－8l一45＝0。故到2004年可将全县所有的坡荒地全部种上树木。
解法三：从表中可知：1996年荒地实际面积减少1200公顷，以后每年均比上一年多减少400公顷。
列表：
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004

1000
1400
1800
2200
2600
3000
3400
3800
4200
4600

25200
24000
22400
20400
18000
15200
12000
8400
4400
0

从表中可知，到2004年，可将全县所有的坡荒地全部种上树木。