中考数学专项训练-圆附参考答案

1．（2015•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2
．
（1）求AC的长度；
（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）


　

2．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，
=
，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．
（1）若OA=CD=2
，求阴影部分的面积；
（2）求证：DE=DM．


　
3．（2015•青海）如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．
（1）求证：AM=AC；
（2）若AC=3，求MC的长．


　
4．（2015•庆阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．
（1）求证：FE⊥AB；
（2）当EF=6，
=
时，求DE的长．


　
5．（2015•呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）求证：AB=AC；
（2）若PC=2
，求⊙O的半径及线段PB的长．



　
6．（2015•天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：
（1）AC•PD=AP•BC；
（2）PE=PD．


7．（2015•贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM．
（1）若AB=4
，求
的长；（结果保留π）
（2）求证：四边形ABMC是菱形．



　
8．（2015•柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．
（1）求证：AB=AC；
（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．


　
9．（2015•鞍山）⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE是⊙O的切线交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE⊥CE；
（2）若BC=
，⊙O的半径为
，求线段CD的长度．


　
10．（2015•黔西南州）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．



　
11．（2015•鄂尔多斯）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，且∠B=2∠A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF=FC．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）设⊙O的半径为2，且AC=CE，求AM的长．


　
12．（2015•铁岭）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，以AD为直径作⊙O，连接BO并延长至E，使得OE=OB，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若BD=
AD=4，求阴影部分的面积．


　13．（2015•贺州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若OE=
cm，AC=2
cm，求DC的长（结果保留根号）．


　
14．（2015•抚顺）如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．



　
15．（2015•赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB是圆O的切线．
（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．


　
　

1．
【解答】解：（1）∵OF⊥AB，
∴∠BOF=90°，
∵∠B=30°，FO=2
，
∴OB=6，AB=2OB=12，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=
AB=6；

（2）∵由（1）可知，AB=12，
∴AO=6，即AC=AO，
在Rt△ACF和Rt△AOF中，


∴Rt△ACF≌Rt△AOF，
∴∠FAO=∠FAC=30°，
∴∠DOB=60°，
过点D作DG⊥AB于点G，


∵OD=6，∴DG=3
，
∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=
×6×3
=9
，
即阴影部分的面积是9
．
　
2．
【解答】（1）解：如图，连接OD，
∵CD是⊙O切线，
∴OD⊥CD，
∵OA=CD=2
，OA=OD，
∴OD=CD=2
，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴∠DOC=∠C=45°，
∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=
﹣
=4﹣π；
（2）证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=∠ADM=90°，
又∵
=
，
∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，
在△AMD和△ABD中，

，
∴△AMD≌△ABD，
∴DM=BD，
∴DE=DM．


3．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°，
∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠AOM=60°，∴∠M=30°，
∴∠OCA=∠M，
∴AM=AC；
（2）作AG⊥CM于G，
∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG=
，
由勾股定理的，CG=
，
则MC=2CG=3
．




4．
【解答】（1）证明：连接AD、OD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
又∵AB=AC，
∴CD=DB，又CO=AO，
∴OD∥AB，
∵FD是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴FE⊥AB；
（2）∵
=
，
∴
=
，
∵OD∥AB，
∴
=
=
，又EF=6，
∴DE=9．


　
5．
【解答】证明：（1）如图1，连接OB．


∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC；
（2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD，


设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，
则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，
AC2=PC2﹣PA2=（2
）2﹣（5﹣r）2，
∴52﹣r2=（2
）2﹣（5﹣r）2，
解得：r=3，
∴AB=AC=4，
∵PD是直径，
∴∠PBD=90°=∠PAC，
又∵∠DPB=∠CPA，
∴△DPB∽△CPA，
∴
=
，
∴
=
，
解得：PB=
．
∴⊙O的半径为3，线段PB的长为
．
　
6．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴
=
…①，
又∵AD∥OC，
∴∠DAE=∠COB，
∴△AED∽△OBC，
∴
=
=
=
…②，
由①②，可得ED=2EP，
∴PE=PD．

（2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴
，
∵PE=PD，
∴
，
∴AC•PD=AP•BC．
7．
【解答】（1）解：∵OA=OB，E为AB的中点，
∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，
∵OE⊥AB，E为OD中点，
∴OE=
OD=
OA，
∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，
设OA=x，则OE=
x，AE=
x，
∵AB=4
，
∴AB=2AE=
x=4
，
解得：x=4，
则
的长l=
=
；

（2）证明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，
∴∠BAM=∠BMA=30°，
∴AB=BM，
∵BM为圆O的切线，
∴OB⊥BM，
在△COM和△BOM中，

，
∴△COM≌△BOM（SAS），
∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，
∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，
∴CM∥AB，
∴四边形ABMC为菱形．


8．
【解答】证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，
∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，
∴∠DAC=∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（2）作AF⊥CD于F，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，
∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，
∴∠AEH=∠AEF，
在△AEH和△AEF中，

，
∴△AEH≌△AEF，
∴EH=EF，
∴CE+EH=CF，
在△ABH和△ACF中，

，
∴△ABH≌△ACF，
∴BH=CF=CE+EH．


9．
【解答】（1）证明：连接OB，OD，
在△BOD和△BOA中

，
∴△BOD≌△BOA（SSS），
∴∠DBO=∠ABO，
又∵∠CDB=∠A，∠OBA=∠A，
∴∠DBO=∠CDB，
∴OB∥DE，
∴∠E+∠EBO=180°，
∵BE为⊙O的切线，
∴OB⊥BE，
∴∠EBO=90°，
∴∠E=90°，
∴BE⊥CE；

（2）解：在Rt△ABC中，
∵AC=2OA=5，BC=
，
∴AB=
=2
，
∴BD=BA=2
，
∵∠ABC=∠E=90°，∠BAC=∠BDE，
∴△ABC∽△DEB，
∴
=
=
，
∴DE=4，BE=2，
在Rt△BCE中，
CE=
=1，
∴CD=DE﹣CE=3．


10．
【解答】（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴OC⊥PA．
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD=OC．
∴直线PB与⊙O相切；

（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．
∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴∠PCF=∠E．
又∵∠CPF=∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．
∵EF是直径，
∴∠ECF=90°．
设CF=x，则EC=2x．
则x2+（2x）2=62，
解得x=
．
则EC=2x=
．


11．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°，
∵EM⊥AB，
∴∠EMB=90°，
在Rt△EMB中，∠B=60°，
∴∠E=30°，
又∵EF=FC，
∴∠ECF=∠E=30°，
又∵∠ECA=90°，
∴∠FCA=60°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°，
∴OC⊥CF，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴BC=
AB=2，AC=
BC=2
，
∵AC=CE，
∴CE=2
，
∴BE=BC+CE=2+2
，
在Rt△BEM中，∠BME=90°，∠E=30°
∴BM=
BE=1+
，
∴AM=AB﹣BM=4﹣1﹣
=3﹣
．


12．
【解答】解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ODB=90°，
在△BOD和△EOA中，

，
∴△BOD≌△EOA，
∴∠OAE=∠ODB=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵∠ODB=90°，BD=OD，
∴∠BOD=45°，∴∠AOE=45°，
则阴影部分的面积=
×4×4﹣
=8﹣2π．
13．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠ADC=∠OCF，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线．

（2）∵OE⊥AC，
∴AE=
AC=
cm，
在Rt△AOE中，AO=
=
=4cm，
由（1）得∠OAC=∠CAD，∠ADC=∠AEO=90°，
∴△AOE∽△ACD，
∴
，
即
，
∴DC=
cm．


14．
【解答】（1）证明：如图所示：连接OF、OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，
∵E为BC边中点，AO=DO，
∴AO=
AD，EC=
BC，
∴AO=EC，AO∥EC，
∴四边形OAEC是平行四边形，
∴AE∥OC，
∴∠DOC=∠OAF，∠FOC=∠OFA，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠DOC=∠FOC，
∵在△ODC和△OFC中

，
∴△ODC≌△OFC（SAS），
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴OF⊥CF，
∴CF与⊙O相切；

（2）解：如图所示：连接DE，
∵AO=DO，AF=EF，AD=2，
∴DE=20F=2，
∵E是BC的中点，
∴EC=1，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
DC=
=
=
，
∴AB=CD=
．


15．
【解答】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，
∴∠OBP=∠E=90°，
∵OB为圆的半径，
∴PB为圆O的切线；
（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，
根据勾股定理得：PD=
=10，
∵PD与PB都为圆的切线，
∴PC=PB=6，
∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，
在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，
根据勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42，
解得：r=3，
则圆的半径为3．