辗转相除法与更相减损术
算 法 案 例
第一课时
1. 回顾算法的三种表示方法：
（1）、自然语言
（2）、程序框图
（3）、程序语言
（三种逻辑结构）
（五种基本语句）
复习引入
2. 思考：
小学学过的求两个数的最大公约数的方法？
先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.
例：求下面两个正整数的最大公约数：
（1）求25和35的最大公约数
（2）求49和63的最大公约数
所以，25和35的最大公约数为5
所以，49和63的最大公约数为7
思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？
例：如何算出8251和6105的最大公约数？
新课讲解：
一、辗转相除法（欧几里得算法）
1、定义：
所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。
2、步骤： （以求8251和6105的最大公约数的过程为例）
第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146
结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。
第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。
为什么呢？
思考：从上述的过程你体会到了什么？
完整的过程
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
例： 用辗转相除法求225和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2
显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数
显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数
思考1：从上面的两个例子中可以看出计算的规律是什么？
S1：用大数除以小数
S2：除数变成被除数，余数变成除数
S3：重复S1，直到余数为0
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。
m = n × q ＋ r
用程序框图表示出右边的过程
r=m MOD n
m = n
n = r
r=0?
是
否
思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？
思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？
(1)、算法步骤：
第一步：输入两个正整数m,n(m>n).
第二步：计算m除以n所得的余数r.
第三步：m=n,n=r.
第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；
否则转到第二步.
第五步：输出最大公约数m.
(2)、程序框图：
(3)、程序：
INPUT “m,n=“;m,n
DO
r=m MOD n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
二、更相减损术
可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。
（1）、《九章算术》中的更相减损术：
1、背景介绍：
（2）、现代数学中的更相减损术：
2、定义：
所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。
例: 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减
98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝21
21－7＝21
14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
3、方法：
1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
练习：
思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。
2、求324、243、135这三个数的最大公约数。
思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。
(1)、算法步骤
第一步：输入两个正整数a,b(a>b);
第二步：若a不等于b ,则执行第三步；否则转到第五步；
第三步：把a-b的差赋予r;
第四步：如果b>r, 那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步；
第五步：输出最大公约数b.
***思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？
(2)、程序框图
(3)、程序
INPUT “a,b=“;a,b
WHILE a<>b
r=a-b
IF b>r THEN
a=b
b=r
ELSE
a=r
END IF
WEND
PRINT b
END
比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。
小结