简单随机抽样
本章教学目的与要求
简单随机抽样是抽样中最基本、最成熟、最简单的抽样设计方式，是所有概率抽样方法发展、比较的基础。具体要求：
通过学习，熟练掌握简单随机抽样的抽样方式和样本抽选方法；
熟知总体均值、总体总值和总体比例的简单估计；
掌握样本量的确定；
了解子总体的估计。
第一节 抽样方式
简单随机抽样（simple random sampling）：也称纯随机抽样。对于大小为N的总体，抽取样本量为n的样本，若全部可能的样本被抽中的概率都相等，则称这样的抽样为简单随机抽样。
可以分为放回和不放回抽样。
（一）放回简单随机抽样
放回抽样也称重复抽样。做法是每次从总体中随机抽取一个样本单位，经调查观测后，将该单位重新放回总体，然后再在总体中随机抽取下一个单位进行调查观测，依次重复这样的步骤，直到从总体中随机抽够n个样本单位为止。
可能的样本为 ( 考虑顺序) 或
放回抽样的特点：同一个单位有可能在同一个样本中重复出现。
（一）放回简单随机抽样
设总体有５个单位（1，2，3，4，5），按放回简单随机抽样的方式抽取2个单位，若考虑样本单位的顺序，则所有的可能样本为25个，若不考虑样本单位的顺序，则所有可能样本为15个。
不考虑顺序的放回简单随机抽样的估计量方差大于或等于考虑顺序时的估计量的方差。只讨论和使用考虑顺序的情形。
（二）不放回简单随机抽样
不放回也称不重复抽样，每次从总体中随机抽取一个样本单位，经调查观测后，不再将该单位放回总体参加下一次抽样，然后再在剩下的总体单位中随机抽取下一个样本单位进行调查观测，直到抽够n个样本单位为止。

考虑顺序可能的样本为

每个样本被抽中的概率为
（二）不放回简单随机抽样
不考虑样本单位顺序，可能的样本为 个。
每个样本被抽中的概率为

虽然样本个数不同，但有同样的概率分布。
（二）不放回简单随机抽样
设总体有5个单位（1，2，3，4，5），按不放回简单随机抽样的方式抽取2个单位，若考虑样本单位的顺序，则所有可能样本20个。若不考虑样本单位的顺序，所有可能样本为10个。二者概率分布相同，不考虑顺序的工作量小，所以对于不放回抽样，只讨论不考虑顺序的不放回抽样。
（三）不放回和放回简单随机抽样的比较
每次抽样面对的总体结构不同。放回抽样总体结构不变，每次抽取相互独立，不放回抽样总体结构改变，每次抽取不相互独立，前者的数学处理简单。
样本提供的信息量不同。不放回抽样信息量更大，抽样效率高。
样本单位数量限制不同。
一般采用不考虑顺序的不放回简单随机抽样。
二、简单随机样本的抽选方法
抽签法：材质相同N个签，一次抽n，或者一次抽1个直到抽够n.
随机数表法
随机数色子
摇奖机
计算机产生
三、简单随机抽样的地位与局限
抽样技术的重要理论基础。
当Ｎ很大时，编制抽样框困难；有辅助信息不加利用，统计效率低下；样本分布广泛时，抽样费时费力；可能得到差的样本。
第二节 总体均值与总体总值的估计
一、总体均值的简单估计
（一）简单估计量
样本均值是总体均值的简单估计量。
（二）无偏性
总体中每个特定的单位出现在全部可能样本中的次数都相等是 每一单位入样概率

总体中任意两个单位出现在全部可能样本中的次数都相等是 每一单位入样概率
对称性论证法
（三）简单估计量的方差
（四）简单估计量方差的无偏性
简单随机样本的方差　　　　　　　　是总体方差　　的无偏估计。

　　　　　　是　　　　的无偏估计。
（五）放回简单随机抽样的简单估计
样本方差　　　　　　　是无限总体方差　　　的无偏估计量。

考虑顺序的放回简单随机抽样方差　　　的无偏估计是

放回／不放回
为调查某校大学生的电信消费水平，在全校Ｎ＝15230名学生用简单随机抽样抽取n=36名学生，调查上月电信支出数据。试以95%的置信度估计该校大学生该月电信消费的平均支出额。
对该校大学生某月电信消费人均支出额的估计为53.64元，在置信度95%下，临界值1.96，可以说以95%的把握说明该校大学生该月的人均支出在[53.64+(-)1.96*6.1355],即41.61~65.67元。
总体总值

总体总值的简单估计量
总体总值估计量的性质由总体均值估计量的性质决定。简单随机抽样的 是 的无偏估计量。

方差 无偏估计为
二、总体总值的简单估计
第三节 总体比例的简单估计
一、总体比例
总体中具有某种属性的单位占总体单位的比例或具有某种属性单位的总个数，也称成数。

设总体有N个单位，具有某种属性的单位N1个，不具有该属性的单位有N-N1个。
二、总体比例的简单估计量及性质
（一）简单估计量的定义
利用简单随机抽样抽取n个单位组成样本，其中n1个单位具有某种属性，则样本比例是总体比例的简单估计量。
是总体中具有某种属性单位的总个数

的简单估计量。
（二）估计量性质
p是P的无偏估计量。
p的方差
V(p)的无偏估计量是v(p)
当N，n,N-n都比较大时，以正态分布给出P及N1的近似置信区间（置信度1-a）为
正态近似产生的误差主要与nP有关，特别当nP比较小时，产生的误差甚大，在95%置信度下，P<0.5时正态分布需要的最小nP值与n值如下表。
试以95%的置信度估计上例大学生月电信消费超过80元的人数及其比例。
第四节 样本量的确定
一、确定样本量主要考虑因素
样本量过大，容易产生非抽样误差，样本量过小，产生抽样误差。
因素一：对抽样估计量精度的要求。精度要求高，即要求抽样误差小，则必须样本量大。总体单位调查标志的变异程度、总体的大小、样本设计和所使用的估计量、回答率等都是影响估计精度的因素。
一、确定样本量主要考虑因素
因素二：实际调查运作的机制。调查经费能支持多大样本？允许调查持续的时间多久？需要多少调查人员？多种约束条件。
能够量化的因素只有抽样精度和调查费用。
方案：总费用一定的条件下精度最高；或者在满足一定精度要求的条件下使费用最小。
费用公式：
达到要求精度，就是控制抽样误差，估计量的标准差或变异系数都是n的函数，只要给定对精度的要求，就可以求出最低样本量要求。
二、估计总体均值（总值）的样本量确定
总体总值是总体均值N倍，N是常数，对样本量的确定不起决定作用，只须估计总体均值的情形。
无限总体或放回抽样情况下，n0为所确定的样本量。
不放回情况下，若总体单位N很大， n0/N<0.05，以n0为近似的样本量。
不放回情况下，若总体单位N不大，用n的公式确定样本量。
n0>n,在同样精度要求下，放回比不放回需要的样本量大。
利用绝对允许误差，相对允许误差和变异系数公式变形估计样本量上限。
复杂的抽样设计方法，样本量估计公式也复杂。在同样精度要求下，先获取简单随机抽样的样本量n，计算复杂抽样设计的效果Deff，再间接推算复杂设计方法需要的样本量n’，有n’=n*Deff.
前面大学生通信费消费调查例子中，要求以95%的置信度估计该校大学生该月人均电信消费支出的绝对允许误差不超过5元，样本量为多少？
解：
三、估计总体比例的样本量确定
如果要求以95%的置信度估计该校大学生月电信消费支出超过80元的人数比例的相对允许误差不超过10%，样本量多少？
四、逆抽样法（适于调查稀有事件）
现实中有的情况，总体中具有所考虑属性的单位数很少，即P很小，利用之前公式计算困难，并且调查者难以估计P的大致范围，由于n0和P成反比，不同的P估计的样本量悬殊。
逆抽样法：根据调查精度的要求，事先确定其样本中含有稀有事件的个数m,然后一个一个地随机抽取样本，直到样本中含有m个稀有事件为止。此时样本量n是一个随机变量。
假设稀有事件数占总体的比例为P,样本量服从Pascal分布：

第n次抽样恰好抽到第m个具有所考察属性的单位这一事件，必须是前n-1次抽样中抽到m-1个这样的单位的事件已经发生，而在第n次抽样时又恰好抽到具有这种属性的单位，前者的概率是二项分布，后者概率恰为P,
第五节 子总体估计
一、问题提出
有时总体按照某个属性可以分为若干个组成部分。例如，总体单位按所属的地域不同划分，企业按所有制性质、行业以及规模不同划分，人口按性别、年龄、民族等划分。
把总体中具有某种共同属性特征的单位的集合称为子总体。
对子总体的估计方法
若每个子总体在编制抽样框时可以区分开，可以采用分层抽样方法进行估计
若事先不能将各个子总体区分开，但事先知道各个子总体的单位数Nj，可以采用事后分层的方法进行估计
若既不能事先将各个子总体区分开来，又无法事先知道各子总体的单位数Nj，则属于这一节讨论的特殊子总体估计问题。
子总体均值的估计
设总体单位数为N，假设属于第j个子总体的单位数为Nj,单位标志值 ，从总体中抽取一个样本量为n的简单随机样本，记样本中属于第j个子总体的单位数为nj，其相应的标志值为 ，nj随样本的不同而变化。在nj固定的条件下，可以证明这nj个单位可以看成是从大小为Nj的子总体中抽取的一个简单随机样本。
子总体总值的估计
对总体每个单位定义新的指标值为
例：为了估计个体餐饮业经营户的纳税情况，某市地税局从全部15800户个体经营户中利用简单随机抽样的方法随机抽取800户，对其中从事餐饮业的375户年纳税情况作调查，户均年纳税额为4376元，年纳税标准差755元，试估计全部餐饮业个体经营户的全年纳税额，并估计其标准差和变异系数。
练习题
1判断一下抽取方式是否为等概率抽样。
（1）总体（1~120），抽法：从数1~60中随机抽取一个数r,再从数4和5中抽取一个数，如果抽中4则取该数为r,如果抽中5则取该数为60+r
（2）总体（1~120），抽法：从1和2中抽取一个数以决定两个群1~95和96~120，再从抽中的群中随机地抽取一个数r.
（3）总体（0~19），抽法：在1~100中随机抽选r，再除以20，如果余数为0~19，则抽中相应的余数，否则不取。
(4)总体（1~19），抽法：在1~100中随机抽选一个数除以19，以余数为抽中的数。
2设总体N=4，其指标值{2，5，6，9}，
（1）计算总体总值，总体方差。
（2）给出n=2的全部不放回简单随机样本，并验证
3为调查某中学学生的每月购书支出水平，在全校N=1750名学生中，用不放回简单随机抽样方法抽得一个n=30的样本，对每个抽中的学生调查其上个月购书支出金额如下表。
（1）在95%的置信度下估计该校学生该月平均购书支出额。
（2）估计该校学生购书支出超出70元的人数。
（３）如果要求相对误差不超过１０％，以９５％的置信度估计购书支出超过７０元的学生比例，则样本量至少多少？
４某保险公司欲对某地区家庭汽车调查，２０万户家庭，按简单随机抽样抽出７０户，调查后发现有６户拥有汽车，
（１）估计该地区家庭拥有汽车的比例及给出估计的标准误差。
（２）在９５％的置信度下，要求估计的绝对误差不超过５％，样本量至少为多少？
5要调查甲乙两种疾病的发病率，历史资料得知，甲病的发病率8%，乙病发病率5% ，（１）要得到相同的标准误差0.05 ，采用简单随机抽样各需要多少样本量？（２）要得到相同的变异系数0.05，各需多大样本量？