高考专题：直线和圆的方程
第一节　直线的方程
1.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着 按 方向旋转到和直线重合时所转的 记为α，那么α就叫做直线的倾斜角．
(1)规定：当直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角α＝ 因此，直线倾斜角的取值范围是
(2)斜率：倾斜角不是 的直线，它的 叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k＝ .倾斜角是90°的直线，斜率k ．
交点
逆时针
最小正角
0°.
0°≤α＜180°.
90°
倾斜角的正切值
不存在
tanα
(3)斜率公式：当直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)时，l的斜率k＝ ．
2．直线的方向向量
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的方向向量为 ，其坐标为 ．当斜率k存在时，方向向量的坐标可记为 ．
(x2－x1，y2－y1)
(1，k)
3．直线方程的三种形式
(1)点斜式： 表示经过点
的直线．特例：y＝kx＋b表示
的直线，其中b表示直线在y轴上的 ，该方程叫直线方程的 ．
(2)两点式： 表示经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线．特例： ＋ ＝1(ab≠0)，其中a，b分别表示直线在x轴、y轴上的 ，该方程叫直线方程的 ．
(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
y－y1＝k(x－x1)
P1(x1，y1)且斜率为k
过点(0，b)且斜率为k
截距
斜截式
截距
截距式
1．倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是[0，π)，千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定．在理解这一概念的过程中应抓住三点：
(1)直线l向上的方向；
(2)与x轴的正方向；
(3)所成的最小正角．
要深刻理解每种直线方程形式的适用范围，此时多涉及分类讨论的思想，如点斜式及斜截式的使用条件是直线斜率必须存在；两点式使用条件是直线既不与x轴垂直，也不与y轴垂直；截距式使用条件是两截距都存在，且均不为零．
4．确定直线的方程有两条途径：一是用方程的五种形式，主要是待定系数法；二是用轨迹的定义，从直线的几何性质出发，建立方程．
例1　已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求：
(1)直线AB的斜率k与倾斜角α；
(2)求直线AB的方程；
(3)已知实数m∈[－ －1， －1]，求直线AB的倾斜角α的范围．
[分析]　已知两点坐标，可直接根据斜率和倾斜角的定义来求解．由于过A，B两点的斜率表达式中分母为m＋1，故应进行讨论．
备考例题习1
　直线l过点A(1,2)，B(m,3)，求：
(1)直线l的倾斜角；
(2)倾斜角α∈[ ， ]，求m的取值范围．
[分析]　根据题目的不同特征，选择恰当的方程形式求解．
[规律总结]　(1)直线方程的形式有多种，使用时可根据条件适当选择其形式．
(2)由特殊形式写出直线方程后，通常要化为一般式作为直线方程的统一形式.
备考例题2
根据所给条件求直线的方程．
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 ；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.
例3　设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
[分析]　第(1)问可先求出在两坐标轴的截距，令其相等，得出关于a的方程，解出a代回原方程．
第(2)问先将方程化为斜截式方程，直线不过第二象限，则斜率大于等于0.在y轴上的截距小于等于零，列出不等式组，然后求解．
[规律总结]　在解决直线的截距、斜率以及直线是否经过第几象限等问题时，通常需要将直线的一般式转化为直线的特殊形式，在转化过程中，一定要注意转化的条件．忽视了条件，易出现错误，导致题目解错.
备考例题3
过点P(－1，－2)的直线l分别交x轴和y轴的负半轴于A、B两点．
(1)当|PA|·|PB|最小时，求l的方程；
(2)设△AOB面积为S，根据S的取值情况，讨论这样的直线l的条数．
例4　如图，过点P(2,1)作直线l，与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．
[分析]　分别列出目标函数式，用均值不等式或判别式法求最值．
[规律总结]　(1)本题的各种方法概括起来就是利用直线的斜率，截距作为参变量，利用均值不等式或判别式法求最值．一般来说，总是把所求的问题，如面积、截距之和、距离之积归结为斜率k、角θ或截距的表达式，再去解决问题．这也是解析几何中常用的代数手段，尤其是利用不等式求最值，今后常会遇到．
(2)从本题而言，此类型以设角θ的解法最优，但它的适用性较小，而用斜率k来解决是通法，值得重视．
备考例题4　　本例条件不变，求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程．
[答案]　C
[错因分析]　概念混淆，当θ＝90°时，斜率不存在，易错选B.
例2　直线l经过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等，求l的方程．
[错因分析]　知识残缺，漏掉直线过原点的情况致误．