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第四节 直线与圆的位置关系
基础梳理
1. 直线与圆的位置关系
（1）直线与圆相交，有 公共点；
（2）直线与圆相切，只有 公共点；
（3）直线与圆相离， 公共点.
2. 直线与圆的位置关系的判断方法
直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)与圆（x-a）2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系的判断方法有：
两个
一个
没有
（1）几何方法
圆心（a,b）到直线Ax+By+C=0的距离为d,
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离.
（2）代数方法
由 Ax+By+C=0,
(x-a)2+(y-b)2=r2消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离.
dd=r
d>r
Δ>0
Δ=0
Δ<0
3. 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含.
4. 弦长问题
圆的弦长的计算：常用弦心距d,弦长一半 a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：r2= a2+d2.
典例分析
题型一 直线与圆的位置关系
分析
（1）用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求圆心坐标，消去m.
(2)比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.
学后反思 判断直线与圆的位置关系一般有两种方法：
（1）代数法：将直线方程与圆的方程联立，由所得一元二次方程根的判别式来判断.
（2）几何法：确定圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断.
实际应用中“几何法”要优于“代数法”.
∵圆的半径为r=5,
∴当d当d=r,即 时，直线与圆相切；
当d>r,即 或 时，直线与圆相离.
题型二 圆与圆的位置关系
【例2】已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,试就m的取值讨论两圆的位置关系.
分析 先把两圆的方程化为标准方程，再求两圆的圆心距d，判断d与R+r,R-r的关系.
解 圆C1:(x-m)2+（y+2）2=9,
圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4.
两圆的圆心距C1C2=(m+1)2+(m+2)2,r1=3,r2=2.
(1)当C1C2=r1+r2,即(m+1)2+(m+2)2=5,
解得m=-5或m=2,
故m=-5或m=2时，两圆外切；
（2）当C1C2=r1-r2,即（m+1）2+(m+2)2=1,
解得m=-2或m=-1,
故m=-2或m=-1时，两圆内切；
（3）当r1-r2即-5（4）当C1C2>r1+r2，即m<-5或m>2时，两圆外离；
（5）当C1C2学后反思 在讨论两圆的位置关系时，一般根据其关系的判定条件，即圆心距与两圆半径之间的和差关系来判断.
举一反三
2. 已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.
求:（1）m取何值时，两圆外切？
（2）m取何值时，两圆内切？
解析: 将两圆分别化为标准方程圆C1:(x-1)2+(y-3)2=11,圆C2:(x-5)2+(y-6)2=61-m.
两圆圆心距C1C2= ，
r1= ,r2= .
（1）当C1C2=r1+r2,即 + =5时,
解得m=25+10 ,故m=25+10 时，两圆外切.
(2)当C1C2=|r1-r2|,即| - |=5时,
解得m=25+10 或m=25-10 .
由（1）知m=25+10 ,两圆外切,
故m=25-10 时,两圆内切.
题型三 圆的切线及弦长问题
【例3】已知点P（0,5）及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为 ,求l的方程.
（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.
分析 （1）可以用代数法——将直线l的斜率k设出（优先考虑斜率不存在的情况），写出直线方程，并将其代入圆C的方程，然后运用弦长公式d= |x1-x2|来解决；也可以用几何法——设出直线l方程：y-5=kx,首先注意斜率不存在情况，运用圆心到直线的距离，圆半径和一半弦长构成直角三角形来解决.
（2）中点弦问题，可以考虑“代点作差法”，也可以利用“垂直于弦的直径平分弦”这一几何特征来求解.
解 (1)方法一：如图所示，AB= ,D是AB中点，CD⊥AB,AD= ,AC=4,在Rt△ACD中，可得CD=2.
设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,
即kx-y+5=0.
由点C到直线AB的距离公式: ,得k= .
又直线l的斜率不存在时也满足题意，此时方程为x=0.
当k= 时,直线l的方程为3x-4y+20=0.
∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.
方法二：设所求直线的斜率为k,
则直线l的方程为y-5=kx,即y=kx+5,
联立直线与圆的方程 y=kx+5,
x2+y2+4x-12y+24=0,
消去y，得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0.①
设方程①的两根为x1,x2,由韦达定理,得
x1+x2= ,
x1x2= .②
由弦长公式,得
|x1-x2|=
将②式代入，解得k= ，此时直线方程为3x-4y+20=0.
又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.
∴所求直线方程为x=0或3x-4y+20=0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y)，则CD⊥PD,即CD·PD=0,
(x+2,y-6)(x,y-5)=0,化简得
所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.
学后反思 （1）直线与圆的相交问题，往往用垂径定理解决问题，即圆心距d,圆半径，半弦长l2,三者满足勾股定理来解决.
（2）在研究与弦的中点有关的问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，中点为(x0,y0)，由 x12+y12=r2,
x22+y22=r2 得
该方法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.
（3）OA⊥OB(O为原点)可转化为x1x2+y1y2=0,再结合根与系数的关系等代数方法简化运算过程，这在解决垂直关系问题中是常见的.
题型四 简单的“圆系方程”的应用
【例4】(14分)求过直线2x+y+4=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且过原点的圆的方程.
分析 可用待定系数法，由两交点坐标和过原点的条件，求出待定系数，也可用圆系方程求经过两圆交点的圆的方程.
解 方法一：由 x2+y2+2x-4y+1=0,
2x+y+4=0,…………………………………..2′
解得交点坐标分别为A(-3,2),B( , )……………4′
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,……………………….6′
由题意得 F=0,
9+4-3D+2E+F=0,
+ D+ E+F=0, ……………………..8′
解得D= ,E= ,F=0…………………………………12′
∴所求圆的方程为x2+y2+ x y=0. ………………14′
方法二：设所求圆的方程为
x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0, ……………………………3′
即x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+(1+4λ)=0. …………………6′
∵此圆过原点，∴1+4λ=0,即λ= . …………………10′
∴所求圆的方程为x2+y2+ x y=0. …………………..14′
学后反思 此类问题利用方法一计算量较大，而利用圆系方程，则因为避免了解方程组而相对简单，但在化简一般形式时一定要细心.
举一反三
4. 求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点且面积最小的圆的方程.
解析： 设所求圆的方程为
x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,
即x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+(1+4λ)=0.①
方法一：当半径最小时，圆面积也最小，对①左边配方，得
［x+(1+λ)］2+(y+ )2= + ≥ .
所以当λ= 时，此圆面积最小，
故满足条件的圆的方程为(x+ )2+(y- )2= .
易错警示
错解分析 过圆外一点的圆的切线有两条，若求出k值唯一，应补上与x轴垂直的那一条,错解中漏掉了斜率不存在的情况.
考点演练
10. (2008·重庆)直线l与圆 (a＜3)相交于A,B两点,弦AB的中点为(0,1),求直线l的方程.
11.求与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的、半径最小的圆的标准方程.
解析： 如图所示，
∵圆A：（x-6）2+(y-6)2=18,∴A(6,6),半径r1= .
由图可知，当圆心B在过点A与直线l垂直的直线上时，
圆的半径最小.
∵点A到l的距离为 ,
∴所求圆B的直径2r2= ,即r2= .
又OB=OA-r2-r1= ,且OA与x轴正半轴成角45°,∴B(2,2).
∴所求圆的标准方程为（x-2）2+(y-2)2=2.
12. 直线l经过点P(5,5),其斜率为k(k∈R)，l与圆
相交，交点分别为A,B.
(1)若AB= ,求k的值；
（2）若AB＜ ,求k的取值范围;
(3)若OA⊥OB(O为坐标原点)，求k的值.
