第三节　线段的定比分点和平移
2．图形的平移．
(1)平移：设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有点按照 方向，移动 长度，得到图形F′，我们把这一过程叫做图形的平移．
(2)平移公式：设P(x，y)为图形F上任意一点，它按向量a＝(h，k)平移后的图形F′上的对应点为P′(x′，y′)，

则有
同一
同样
2．在P1、P、P2三点中，任何一个点都可以看作起点、分点、终点，解题时可以灵活选取分点，以方便计算．
3．确定λ值时，可以画图形，先求长度比、再看数量比λ，也可利用向量的线性运算直接求出．
4．将一个图形平移，图形的大小、形状不变，只是它在坐标系中的位置发生了变化．因此，在平移前后，图形中那些与位置无关的几何量，如面积、图形上两点间的距离都是不变的；而那些与位置有关的量，如图形上的点的坐标、图形的解析式等都会发生变化，利用图形的平移，可以使复杂的函数解析式变得简单，以便研究函数的性质．
5．一向量平移后，向量的坐标不会变化，而它的起点、终点的坐标是发生变化的．
6．平移公式中有三个量：平移前点的坐标、平移后点的坐标、向量的坐标，这三者“知二能求一”．
7．将点P平移到P′，能产生这种效果的向量是唯一的，把曲线(非直线)平移的向量一般也是唯一的；但将直线l平移到直线l′，能产生这种效果的向量不是唯一的，要特别注意.
例1　已知点A(－1，－4)，B(5,2)，线段AB上的三等分点依次为P1、P2，求P1、P2点的坐标及A、B分所成的比λ.
[规律总结]　在解关于定比分点的问题时，相对地理解始点、终点、分点很重要．在P、A、B三个点中，每个点都可以作为始点、终点、分点．但要注意不同的始点、终点、分点对应着不同的λ值，λ不是距离比，而是共线向量之比.
例2　已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A(－2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3,0)、N(－1，－2)．求平行四边形各个顶点坐标．
[解]　解法一：设其余三个顶点为B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，如图，
[规律总结]　要充分理解点的坐标与向量的坐标间的关系，如果能运用向量求点的坐标，则有时显得更为简捷，要注意利用.
备选例题2　设平行四边形三个顶点坐标为A(0,0)，B(0，b)，C(a，c)，求第四个顶点D的坐标．
解：设第四个顶点坐标为D(x，y)．
(1)当四顶点按逆时针ACDB排列时，如图所示，由中点坐标公式可得：
例3　将函数y＝－x2进行平移，使得到的图象与函数y＝x2－x－2的图象两交点关于原点对称，求平移后的图象的解析式．
[规律总结]　本题的解题关键是确定平移向量a＝(h，k)，此解中巧用根与系数的关系，起到了简化运算的作用.
[分析]　利用向量数量积的运算法则，求f(x)的表达式，再利用三角函数恒等变形，求出x的值；利用平移公式求出h、k的值．
[规律总结]　按向量平移和沿坐标轴平移是统一的，按向量a＝(h，k)平移，若h＞0，则沿x轴方向向右平移h个单位；若h＜0，则沿x轴方向向左平移|h|个单位；k＞0，沿y轴向上平移k个单位；若k＜0，则沿y轴向下平移|k|个单位.
备选例题4　(2011·辽宁模拟)设函数f(x)＝a·(b＋c)，其中向量a＝(sinx，－cosx)，b＝(sinx，－3cosx)，c＝(－cosx，sinx)，x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)将函数y＝f(x)的图象按向量d平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.
[错因分析]　概念混淆，定比分点概念不清致误．
[错因分析]　误区一：识记不好，是分点P可能在线段上或延长线上两种情况，得出λ＝±3.忘记讨论；
误区二：识记不好，定比分点公式起点，终点坐标代错造成错误．
例3　已知函数y＝f(x－α)－β的图象为F，将F按向量a平移后的图象为F′，若F′的表达式为y＝f(x)，求平移向量a.
[解题思路]　设a＝(h，k)，点P(x，y)为y＝f(x－α)－β上任意一点，它在平移后图象为F′上的对应点为P′(x′，y′)．
[错因分析]　平移公式用错是解题失误的关键.