立体几何
第一节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图
第二节 空间几何体的表面积和体积
第三节 空间点、直线、平面间的位置关系
第四节 直线、平面平行的判定及性质
第五节 直线、平面垂直的判定与性质
第六节 空间向量及其运算和空间位置关系
第七节 空间向量与空间角
目 录
立 体 几 何
[知识能否忆起]
一、多面体的结构特征
互相平行
平行且相等
公共
顶点
底面
截面
底面
多边形
二、旋转体的形成
三、简单组合体
简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．
任一边
一条直角边
垂直于底边的腰
直径
四、平行投影与直观图
空间几何体的直观图常用 画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面 ．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍_________
．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段长度在直观图中 ．
斜二测
垂直
平行于坐
标轴
不变
变为原来的一半
五、三视图［动漫演示更形象,见配套课件］
几何体的三视图包括 、 、 ，分别是从几何体的 、 、 观察几何体画出的轮廓线．
正视图
侧视图
俯视图
正前方
正左方
正上方
超链接
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正
确的是 (　　)
A．球的三视图总是三个全等的圆
B．正方体的三视图总是三个全等的正方形
C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形
D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆
解析：B中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中俯视图是一个圆环．
答案：A
2．(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各
个截面都是圆面，则这个几何体一定是 (　　)
A．圆柱　　　　B．圆锥
C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体
解析：当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．
答案：C
3．下列三种叙述，其中正确的有 (　　)
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案：A
解析：①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用下图反例检验，故②③不正确．
4．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的：
①正方形的直观图一定是菱形；
②菱形的直观图一定是菱形；
③三角形的直观图一定是三角形．
以上结论正确的是________．
解析：①中其直观图是一般的平行四边形，②菱形的直观图不一定是菱形，③正确．
答案：③
5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视
图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．
解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.
答案：③
1.正棱柱与正棱锥
(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中
“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．
(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
2．对三视图的认识及三视图画法
(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．
(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．
(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．
3．对斜二测画法的认识及直观图的画法
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”
空间几何体的结构特征
[例1]　(2012·哈师大附中月考)下列结论正确的是 (　　)
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
[自主解答]　A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；
图1　　　　　　　　　　 图2
C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．
[答案]　D
解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析．举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断．
1．(2013·天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称
它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是 (　　)
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或
互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
解析：如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，
其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与
底面所成角相等，即A正确；底面四边形
必有一个外接圆，即C正确；在高线上可
以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个
顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．
答案:　B
几何体的三视图
[例2]　(2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是 (　　)
[自主解答]　根据几何体的三视图知识求解．
由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.
[答案]　C
三视图的长度特征
三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．
[注意]　画三视图时，要注意虚、实线的区别．
2．(1)(2012·莆田模拟)如图是底面为正方形、一条侧棱垂
直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的 (　　)
解析：由俯视图排除B、C；由主视图、侧视图可排除A.
答案：D
(2)(2012·济南模拟)如图，正三棱柱ABC－
A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所
示，则此三棱柱侧视图的面积为(　　)
答案：D
几何体的直观图
[例3]　已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．
[自主解答]　
建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′
C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，
OC为△ABC的高．
把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，
用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”．
3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底
角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 (　　)
答案：A
[典例]　(2012·陕西高考)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为 (　　)

[尝试解题]　还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．
[答案]　B
1.因没有区分几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线，误选A、C.
2.因为忽视了B1C被遮挡，误认为无投影，不用画出，误选D.
3.对于由几何体画出其三视图时，首先要看清几何体的结构特征，在绘制三视图时，若相邻两几何体的两表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都是用实线画出，被挡住的轮廓线用虚线画出，其次要注意三视图的长、宽、高的要求及排放规则.
1．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直
观图可以是 (　　)
解析：由正视图与俯视图可以将选项A、C排除；根据侧视图，可以将D排除，注意正视图与俯视图中的实线．
答案:　B
2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所
示，则该几何体的侧视图为 (　　)
解析：被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D符合．
答案:　D
教师备选题（给有能力的学生加餐）
1．(2012·北京朝阳二模)有一个棱长为1的正方体，
按任意方向正投影，其投影面积的最大值是 (　　)
答案： D
2．如图，△ABC与△ACD都是
等腰直角三角形，且AD＝
DC＝2，AC＝BC.平面ACD
⊥平面ABC，如果以平面AB
C为水平平面，正视图的观察方向与AB垂直，则三棱锥D－ABC的三视图的面积和为________．
3．(2012·北京海淀)已知正三棱柱
ABC－A′B′C′的正视图和
侧视图如图所示，设△ABC，
△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为________；最小正周期为________．
(说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．)
柱、锥、台和球的侧面积和体积
2πrl
πrl
π(r1＋r2)l
Sh
πr2h
[知识能否忆起]
Ch
Sh
4πR2
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底
面边长为a时，该三棱锥的全面积是 (　　)
答案：A
2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四
棱锥的外接球的表面积为 (　　)
A．12π B．36π
C．72π D．108π
答案：B
3.某几何体的俯视图是如图所示的矩
形，正视图是一个底边长为8，高
为5的等腰三角形，侧视图是一个
底边长为6，高为5的等腰三角形，
则该几何体的体积为 (　　)
A．24 B．80
C．64 D．240
答案：B
4．(教材习题改编)表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图
是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，
则πrl＋πr2＝3π，πl＝2πr.
解得r＝1，即直径为2.
答案：2
5.某几何体的三视图如图所示，
其中正视图是腰长为2的等腰
三角形，侧视图是半径为1的
半圆，则该几何体的表面积
是________．
1.几何体的侧面积和全面积：
几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．
2．求体积时应注意的几点：
(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决．
(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．
3．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．
[例1]　 (2012·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 (　　)
几何体的表面积
[答案]　B
1．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
 2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
答案:　D
(1)(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为 (　　)
A．12π B．45π
C．57π D．81π
几何体的体积
(2) (2012·山东高考)如图，正
方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，
F分别为线段AA1，B1C上的点，则三
棱锥D1－EDF的体积为________．
[自主解答]　(1)由三视图知该几何体
是由圆柱、圆锥两几何体组合而成，直观
图如图所示．
圆锥的底面半径为3，高为4，圆柱的
底面半径为3，高为5，
本例(1)中几何体的三视图若变为：
其体积为________．
答案：24π
1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．
2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．
3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”．
2．(1)(2012·长春调研)四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正
方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB中点，则三棱锥P－ANC与四棱锥P－ABCD的体积比为 (　　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶8
答案：C
(2) (2012·山西大同)已知一个
棱长为2的正方体，被一个平面
截后所得几何体的三视图如图所
示，则该几何体的体积是 (　　)
答案：C
与球有关的几何体的表面积与体积问题
[例3]　(2012·新课标全国卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为
(　　)
[答案]　A
1．解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．
2．记住几个常用的结论：
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
②正方体的内切球，则2R＝a；
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为1∶3.
3．(1)(2012·琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其
中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 (　　)

某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法.常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题.
1．对称补形
[典例1]　(2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (　　)
[答案]　B
[题后悟道]　对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助．
2．联系补形
[题后悟道]　三条侧棱两两互相垂直，或一侧棱垂直于底面，底面为正方形或长方形，则此几何体可补形为正方体或长方体，使所解决的问题更直观易求．
教师备选题（给有能力的学生加餐）
1．两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1
C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A
的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正
方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之
和的最小值为 (　　)
答案：A
2．已知某球半径为R，则该球内接长方体的表面积的最
大值是 (　　)
A．8R2 B．6R2
C．4R2 D．2R2
答案：A
3.右图是一个几何体的三视图(侧视图中的
弧线是半圆)，则该几何体的表面积是
(　　)
A．20＋3π　　　　　　B．24＋3π
C．20＋4π　　　　　　D．24＋4π
答案：A
答案：D
5．(2012·上海高考)如图，AD与BC是四面
体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2.若AD
＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中
a，c为常数，则四面体ABCD的体积的
最大值是________．
[知识能否忆起]
一、平面的基本性质
l⊂αZ
α∩β
＝l，且P∈l
二、空间直线的位置关系
1．位置关系的分类
相交
一个
平行
没有
没有
没有
2．平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相 ．
平行
3．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ．
4．异面直线所成的角(或夹角)
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角．
(2)范围：_______.
相等或互补
锐角(或直角)
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[动漫演示更形象，见配套课件]
三、直线与平面的位置关系
l⊂α
无数个
l∩α＝A
一个
l∥α
0个
四、平面与平面的位置关系
α∥β
0个
无数
α∩β
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于
直线a，那么c与b (　　)
A．异面　　　　　　　　　 B．相交
C．不可能平行 D．不可能相交
解析：由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直线相矛盾．
答案：C
2．(2013·东北三校联考)下列命题正确的个数为 (　　)
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①④错误，②③正确．
答案：C
3．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝
∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是 (　　)
A．AB∥CD
B．AB与CD异面
C．AB与CD相交
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．
答案：D
4．(教材习题改编)如图所示，在正方体
ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是
AB，AD的中点，则异面直线B1C与
EF所成的角的大小为________．
解析：连接B1D1，D1C，
则B1D1∥EF，
故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°.
答案：60°
5．(教材习题改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中既与
AB共面又与CC1共面的棱的条数为________．
解析：如图，与AB和CC1都相交的
棱有BC；与AB相交且与CC1平行
的棱有AA1，BB1；与AB平行且与
CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合
条件的棱共有5条．
答案：5
1.三个公理的作用
(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．
(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件．
(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线．
2．异面直线的有关问题
(1)判定方法：①反证法；②利
用结论即过平面外一点与平面内一
点的直线与平面内不过该点的直线
是异面直线，如图．
(2)所成的角的求法：平移法．
平面的基本性质及应用
[例1]　(2012·湘潭模拟)如图所示，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB
的中点，F为A1A的中点，
求证：CE，D1F，DA三线共点．
本例条件不变试证明E，C，D1，F四点共面．
1．证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．
 2．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．
1．(1)(2013·江西模拟)在空间中，下列命题正确的是
(　　)
A．对边相等的四边形一定是平面图形
B．四边相等的四边形一定是平面图形
C．有一组对边平行的四边形一定是平面图形
D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形
(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①相对棱AB与CD所在直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知
C正确．
(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的
直线为异面直线，故①正确；
由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误；设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱也过它们的交点，故④正确．
答案：(1)C　(2)①④
异面直线的判定
[例2]　(2012·金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
[自主解答]　图①中，直线GH∥MN；
图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，
因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN，
因此GH与MN共面；
图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，
因此GH与MN异面．
所以图②④中GH与MN异面．
[答案]