平面解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第二节 两直线的位置关系
第三节 圆 的 方 程
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
第五节 椭圆
第六节 双曲线
第七节 抛物线
第八节 曲线与方程
第九节 圆锥曲线的综合问题
目 录
平面解析几何
[知识能否忆起]
一、直线的倾斜角与斜率[动漫演示更形象见课间光盘]
1．直线的倾斜角
(1)定义：x轴 与直线 方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .
(2)倾斜角的范围为 ．
正向
向上
[0，π)
0°
超链接
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ ，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式：
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 .
正切值
tan α
二、直线方程的形式及适用条件
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
垂直于x轴
垂直于x轴
垂直于坐
标轴
Ax＋By＋C＝0
(A，B不全为0)
垂直于坐
标轴
过原点
[小题能否全取]
答案：C
A．30°　　　　　　　　　　 B．60°
C．150° D．120°
答案：A
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m
的值为 (　　)
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
答案：A
4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，
则a的值为________．
答案：4
5．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直
线l的方程为________．
答案：3x＋2y－1＝0
1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．
3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．
直线的倾斜角与斜率
A．－1　　　　　　　　　　　B．－3
C．0 D．2
1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：
(1)求出斜率k＝tan α的取值范围；
(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．
2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
A．45° B．60°
C．120° D．135°
答案：D
(2)(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是 (　　)
答案：D
直 线 方 程
(2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为_________．
[答案]　(1)3x－4y－8＝0或3x＋4y－8＝0　(2)2x－y－1
＝0
求直线方程的方法主要有以下两种：
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．
2．(2012·龙岩调研)已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，
C(－2,0)．求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．
[例3]　 (2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．
直线方程的综合应用
解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．
3．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与
x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．

[典例]　(2012·西安模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满足.
2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.
过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．
1．(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a
＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．
若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为(　　)
A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0
C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0
教师备选题（给有能力的学生加餐）
答案：B
2．(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线
的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．
答案：(－2,1)
3.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴，y
轴的正半轴分别交于A，B两点如
图，求△ABO的面积的最小值及
此时直线l的方程．
[知识能否忆起]
一、两条直线的位置关系
k1≠k2
k1k2＝－1
A1B2－A2B1
A1A2＋B1B2
k1＝k2
b1≠b2
k1＝k2
b1＝b2
A1B2－A2B1
B2C1－B1C2
A1B2－A2B1
A1C2－A2C1
二、两条直线的交点
相交
交点坐标
无解
平行
三、几种距离
1．两点间的距离
平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：
d(A，B)＝|AB|＝ .
2．点到直线的距离
点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝

.
3．两条平行线间的距离
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离

d＝ .
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－
2，－1)，Q(3，m)．若l1⊥l2，则实数m为 (　　)
A．6　　　　　　　　　 B．－6
C．5 D．－5
答案：B
2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为
(　　)
答案：B
3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是 (　　)
A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)
C．(－a，－b) D．(－b，－a)
答案：B
4．l1：x－y＝0与l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线mx＋3y
＋5＝0上，则m的值为 (　　)
A．3 B．5
C．－5 D．－8
答案：D
5．与直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的
直线方程是______________________．
答案：4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝0
1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．
2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出错．
[例1] (2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件　B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[自主解答]　由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.
[答案]　A
两直线的平行与垂直
在本例中若l1⊥l2，试求a.
1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．
2．(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.
(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
1．(2012·大同模拟)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是 (　　)
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
答案:　C
[例2]　(2012·浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.
两直线的交点与距离问题
1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．
注意直线方程为一般式．
2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：
(1)点P(x0，y0)到与y轴垂直的直线y＝a的距离d＝|y0－a|.
(2)点P(x0，y0)到与x轴垂直的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.
答案：2或－6
对 称 问 题
[例3]　(2012·成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 （ ）
[答案]　A
对称问题主要包括中心对称和轴对称
(1)中心对称
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
3．(2012·南京调研)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直
线方程为 (　　)
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析：与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.
答案:　A

[典例]　(2012·银川一中月考)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
“题型技法点拨——快得分”系列之（十）
妙用直线系求直线方程
运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
求与直线2x＋6y－11＝0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程．
教师备选题（给有能力的学生加餐）
答案:　B
2．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2
与l1关于l对称，则l2的方程是 (　　)
A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
答案:　B
3．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y
＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．
[知识能否忆起]
1．圆的定义及方程 [动漫演示更形象见配套光盘]
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
定长
定点
(a，b)
r
超链接
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则 .
(2)若M(x0，y0)在圆上，则 .
(3)若M(x0，y0)在圆内，则 .
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
(x0－a)2＋(y0－b)2[小题能否全取]
1．(教材习题改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示
圆的充要条件是 (　　)
答案：B
答案：A
2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则
实数a的取值范围是 (　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：∵点(1,1)在圆的内部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，
∴－1＜a＜1.
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
答案：A
答案：1
5．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切
的圆的方程为____________________．
答案：x2＋y2＝2
1.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：
(1)B＝0；(2)A＝C≠0；(3)D2＋E2－4AF＞0.
2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
[例1]　 (1)(2013·顺义模拟)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为 (　　)
圆的方程的求法
(2)过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程为________．
[答案]　(1)C　(2)(x＋1)2＋y2＝20
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组．
2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
1．(2012·浙江五校联考)过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆
的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆的方程是 (　　)
A．(x－4)2＋(y－2)2＝1　　B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x－2)2＋(y－1)2＝5
解析：易知圆心为坐标原点O，根据圆的切线的性质可知OA⊥PA，OB⊥PB，因此P，A，O，B四点共圆，△PAB的外接圆就是以线段OP为直径的圆，这个圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案:　D
[例2]　 (1)(2012·湖北高考)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 (　　)
A．x＋y－2＝0　　　　　　 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
(2)P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，则x2＋y2的最小值为________．
与圆有关的最值问题
[自主解答]　(1)当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0.
解决与圆有关的最值问题的常用方法
(2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．
2．(1)(2012·东北三校联考)与曲线C：x2＋y2＋2x＋2y＝0
相内切，同时又与直线l：y＝2－x相切的半径最小的圆的半径是________．
(2)已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为________，最小值为________．
与圆有关的轨迹问题
[例3]　(2012·正定模拟)如图，
已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆
x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延
长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与
OD的交点P的轨迹方程．
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法；
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
3．(2012·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)
的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为 (　　)
A．x2＋y2＝32　　　　　 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
答案：B
与圆有关的交汇问题是近几年高考命题的热点，这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用．同时，要根据条件，合理选择代数方法或几何方法，凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对问题的影响，以便确定是否分类讨论．同时要有丰富的相关知识储备，解题时只有做到平心静气地认真研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正把握好问题．
[题后悟道]　该题是圆与集合，不等式交汇问题，解决本题的关键点有：
①弄清集合代表的几何意义；
②结合直线与圆的位置关系求得m的取值范围．
若直线l：ax＋by＋4＝0(a>0，b>0)始终平分圆C：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则ab的最大值为 (　　)
答案：C
教师备选题（给有能力的学生加餐）
1．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最
长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形A
BCD的面积为 (　　)
答案：B
2．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上
任意一点，则△ABC面积的最小值是________．
3．(2012·抚顺调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，
B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[知识能否忆起]
一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
＜
＞
＝
＝
＞
＜
二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d
＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知圆 (x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y
－5＝0的位置关系是 (　　)
A．相切　　　　　　 B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心 D．相离
答案：B
答案：A
2．(2012·银川质检)由直线y＝x＋1上的一点向圆x2＋y2
－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为 (　　)
3．直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝r2相交于A，B两点，且
AB的长为2，则圆的半径为 (　　)
答案：B
4．(教材习题改编)若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公
共点，则实数k的取值范围是________．
5．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2
＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．
解析：两圆相减即得x－2y＋4＝0.
答案：x－2y＋4＝0
1.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．
2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．
[例1]　(2012·陕西高考)　已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则 (　　)
A．l与C相交　　　　 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
直线与圆的位置关系的判断
[自主解答]　将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得
32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
所以点P(3,0)在圆内．
故过点P的直线l定与圆C相交．
[答案]　A
本例中若直线l为“x－y＋4＝0”问题不变．
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．
(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．
1．(2012·哈师大附中月考)已知直线l过点(－2,0)，当直线l
与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是 (　　)
答案：C
[例2]　 (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于 (　　)
直线与圆的位置关系的综合
(2)(2012·天津高考)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是 (　　)
[答案]　(1)B　(2)D
1．圆的弦长的常用求法：
(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：
[注意]　常用几何法研究圆的弦的有关问题．
2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．
2．(2012·杭州模拟)直

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