平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节 平面向量的概念及其线性运算
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
第四节 数系的扩充与复数的引入
目 录
平面向量、数系的扩充与复数的引入
[知识能否忆起]
一、向量的有关概念
1．向量：既有大小又有 的量叫向量；向量的大小叫做向量的 ．
2．零向量：长度等于 的向量，其方向是任意的．
方向
模
0
3．单位向量：长度等于 的向量．
4．平行向量：方向相同或 的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向 的向量．
6．相反向量：长度相等且方向 的向量．
1个单位
相反
相同
相反
二、向量的线性运算
b＋a
(b＋c)
a＋
三、向量的数乘运算及其几何意义
1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 ，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝ ；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝ .
2．运算律：设λ，μ是两个实数，则:
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
四、共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得 .
相同
相反
|λ||a|
λa
0
b＝λa
[小题能否全取]
1．下列命题正确的是 (　　)
A．不平行的向量一定不相等
B．平面内的单位向量有且仅有一个
C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向
相同的向量
D．若a与b平行，则b与a方向相同或相反
解析：对于B，单位向量不是仅有一个，故B错；对于C，a与c的方向也可能相反，故C错；对于D，若b＝0，则b的方向是任意的，故D错，综上可知选A.
答案：A
2.如右图所示，向量a－b等于 (　　)
A．－4e1－2e2　　 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2　　　 D．3e1－e2
解析：由题图可得a－b＝ ＝e1－3e2.
答案：C
答案：B
答案：2
5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)
共线，则λ＝________.
共线向量定理应用时的注意点
(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．
[例1]　给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
向量的有关概念
③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中假命题的个数为 (　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
[答案]　C
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
1．平面向量的概念辨析题的解题方法
准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．
2．几个重要结论
(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；
(3)向量平行与起点的位置无关.
A．0 B．1
C．2 D．3
1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝
|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)
解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
答案：D
向量的线性运算
[答案]　 (1)D　(2)A
答案：3
在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案：C
[例3]　设两个非零向量a与b不共线．
共 线 向 量
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
1．当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用．
2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．
A．a＝－b　　　　　　　　 B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
[答案]　C
1.解答本题的易误点有两点：
(1)不知道 分别表示与a，b同向的单位向量.
(2)误认为由|a|＝|b|及a∥b能推出两向量
相等，而忽视了方向.
2.解决向量的概念问题要注意两点：
(1)要考虑向量的方向；
(2)要考虑零向量是否也满足条件.
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的 (　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由a∥b⇒a＝λb，不能得出a＋b＝0.
答案：A
解析：由已知向量p是两个单位向量的和，当这两个单位向量同向时，|p|max＝2，当这两个单位向量反向时，|p|min＝0.
答案：D
教师备选题（给有能力的学生加餐）
1．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则
a与b共线的条件是 (　　)
A．λ＝0　　　　　　　　B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
解析：若e1与e2共线，则e2＝λ′e1.
因此a＝(1＋λλ′)e1，此时a∥b.
若e1与e2不共线，设a＝μb，则
e1＋λe2＝μ·2e1，因此λ＝0,1－2μ＝0.
答案：B
答案：B
[知识能否忆起]
一、平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝ .
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．
不共线
有且只有
基底
λ1e1＋λ2e2
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．
3．平面向量的坐标表示
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋yj，把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a＝ ，其中 叫做a在x轴上的坐标， 叫做a在y轴上的坐标．
互相垂直
(x，y)
(x，y)
x
y
终点A
(x，y)
二、平面向量坐标运算
1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ．
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
2．向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝
，| |＝ .
三、平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若a∥b⇔
.
(x2－x1，y2－
y1)
x1y2
－x2y1＝0
[小题能否全取]
答案： A
A．(4,6)　　　　　　　　　 B．(－4，－6)
C．(－2，－2) D．(2,2)
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b等
于 (　　)
A．(－2，－1) B．(2,1)
C．(3，－1) D．(－3,1)
解析：由a∥b可得2×(－2)－1×x＝0，故x＝－4，所以a＋b＝(－2，－1)．
答案： A
答案： A
1.基底的不唯一性
只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
2．向量坐标与点的坐标的区别
要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．
平面向量基本定理及其应用
用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．
答案：A
平面向量的坐标运算
①求3a＋b－3c；
②求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
[答案]　(1)D
1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．
2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．
[注意]　向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变．
[例3]　(2011·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c则λ＝ (　　)
平面向量共线的坐标表示
[答案]　B
在本例条件下，问是否存在非零常数λ，使a＋λb和a－λc平行？若平行是同向还是反向？
解：∵a＋λb＝(1＋λ，2)，a－λc＝(1－3λ，2－4λ)，
若(a＋λb)∥(a－λc)，∴(1＋λ)(2－4λ)－2(1－3λ)＝0.
∴λ＝1.∴a＋λb＝(2,2)与a－λc＝(－2，－2)反向．
即存在λ＝1使a＋λb与a－λc平行且反向．
a∥b的充要条件有两种表达方式
(1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb(λ∈R)；
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b≠0，而第(2)种无b≠0限制．
答案:　C
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
答案:　D
教师备选题（给有能力的学生加餐）
答案：A
2．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则
称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为 (　　)
A．(2,0) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(0,2)
答案：D
[知识能否忆起]
一、两个向量的夹角
1．定义
2．范围
向量夹角θ的范围是 ，a与b同向时，夹角θ＝ ；a与b反向时，夹角θ＝ .
3．向量垂直
如果向量a与b的夹角是 ，则a与b垂直，记作
.
0°≤θ≤180°
0°
180°
90°
a⊥b
二、平面向量数量积
1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝ ，其中θ是a与b的夹角．
规定0·a＝0.
当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝ .
2．a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影
的乘积．
|a||b|cos θ
0
|b|cos θ
三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
2．a⊥b⇔ .
4．cos θ＝ .(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| |a||b|.
a·b＝0
|a|2
≤
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ .
2．分配律：(a＋b)·c＝ .
3．对λ∈R，λ(a·b)＝ ＝ ．
b·a
a·c＋b·c
(λa)·b
a·(λb)
五、数量积的坐标运算
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：
1．a·b＝ .
2．a⊥b⇔ .
3．|a|＝ .
a1b1＋a2b2
a1b1＋a2b2＝0
[小题能否全取]
1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是 (　　)
A．|a|＝　　　　　　　 B．|a·b|＝|a|·|b|
C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|
解析：|a·b|＝|a|·|b||cos θ|，只有a与b共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知B是错误的．
答案： B
2．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方
向上的投影为 (　　)
答案： D
答案： B
3．(2012·重庆高考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，
且a⊥b，则|a＋b|＝ (　　)
5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹
角θ＝________.
1.对两向量夹角的理解
(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．
(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.
(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．
2．向量运算与数量运算的区别
(1)若a，b∈R，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.
(2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.
(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．
(4)若a，b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．
平面向量数量积的运算
[例1]　(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝ (　　)
A．6　　　　　　　　　　 B．5
C．4 D．3
[答案]　(1)C　(2) 18
平面向量数量积问题的类型及求法
(1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cos θ求解；
(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
答案:　B
答案：－6
两平面向量的夹角与垂直
[例2]　(1)(2012·福州质检)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为 (　　)
A．150°　　　　　　　　 B．90°
C．60° D．30°
(2)(2011·新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.
[自主解答]　(1)∵a·b＝1×2×cos 120°＝－1，c＝－a－b，∴a·c＝a·(－a－b)＝－a·a－a·b＝－1＋1＝0，∴a⊥c.
∴a与c的夹角为90°.
(2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1.
又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，
即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.
∴k－1＋ka·b－a·b＝0.
即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)．
∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线，
∴cos θ≠－1.∴k＝1.
[答案]　(1)B　(2)1
若本例(1)条件变为非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，试求a与b的夹角．
1．求两非零向量的夹角时要注意：
(1)向量的数量积不满足结合律；
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．
2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是 (　　)
A．x＝0或2 B．x＝2
C．x＝1 D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则 (　　)
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直
B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60°
C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30°
D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝(2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案:　(1)B (2)D
平面向量的模
[答案]　B
[答案]　D
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)|a|2＝a2＝a·a；
(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
(1)当a⊥b时，求|a＋b|的值；
(2)求函数f(x)＝a·(b－a)的最小正周期．
平面向量数量积的综合应用
(1)求f(x)的周期和单调递减区间；
向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题．
4．(1)(2012·朔州调研)质点受到平面上的三个力F1，F2，
F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2
成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小
为 (　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
答案：（1）A （2） B
平面向量兼具形、数的双重性，一般可以从两个方面思考，一是利用“数”的特征，我们可以从向量的线性运算、数量积、基底分解及坐标运算等方面思考，将问题转化为代数中的有关问题来解决；二是利用其“形”的特征，可以通过向量的几何意义以及向量的基本运算将其转化为平面几何中的问题，直接利用平面几何中的相关结论得到结果.
A．2　　　　　　　　　　　　B．4
C．5 D．10
1．特殊化法
该题是一道选择题，可以根据选项的特征选择方法，很明显该题的四个选项都是定值，所以可以利用最特殊的等腰直角三角形中的基本运算来验证结果．
[答案]　D
[题后悟道]　该题中四个选项都是定值是选择特殊化方法验证的前提，如果该题中出现“与两直角边的长度有关”，则该题就不能采用特殊化法进行验证了．
2．向量基底法
[答案]　D
3．坐标法
我们可以利用相互垂直的两腰所在直线建立平面直角坐标系，这样就可以根据已知条件求出相应点的坐标，再利用平面向量的坐标运算进行验证．
[答案]　D
[题后悟道]　利用坐标计算向量模的问题，是最常用有效的方法，建立坐标系时，应注意利用图形特点．
以上根据向量数与形的基本特征，结合题目中的选项以及直角三角形的条件，从三个方面提出了不同的解法，涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识，在寻找解题思路时，应牢牢把握向量的这两个基本特征．
教师备选题（给有能力的学生加餐）
答案：D
2．(2012·郑州质检)若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂
直，则9x＋3y的最小值为 (　　)
答案：D
答案：D
答案：[2,5]
[知识能否忆起]
一、复数的有关概念
1．复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的 和 ．若 ，则a＋bi为实数；若 ，则a＋bi为虚数；若 ，则a＋bi为纯虚数．
实部
虚部
b＝0
b≠0
a＝0，b≠0
2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ (a，b，c，d∈R)．
3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔_____________ (a，b，c，d∈R)．
二、复数的几何意义
Z(a，b)
a＝c，b＋d＝0
a＝c，b＝d
三、复数的运算
1．复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
超链接
[动漫演示更丰富，见配套光盘]
2．复数加法、乘法的运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ ，(z1＋z2)
＋z3＝ ；z1·z2＝ ，(z1·z2)·z3＝ ，z1(z2＋z3)＝ .
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
z2·z1
z1·(z2·z3)
z1z2＋z1z3
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知a∈R，i为虚数单位，若(1－