三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第三节 三角函数图像与性质
第四节 函数y＝sin(ωx＋φ)的图象及三角函数
模型的简单应用
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第六节 简单的三角恒等变换
第七节 正弦定理和余弦定理
第八节 正弦定理和余弦定理的应用
目 录
三角函数、解三角形
[知识能否忆起]
1．任意角
(1)角的分类：
①按旋转方向不同分为 、 、 ．
②按终边位置不同分为 和 ．
(2)终边相同的角：
终边与角α相同的角可写成 ．
正角
负角
零角
象限角
轴线角
α＋k·360°(k∈Z)
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(3)弧度制：
①1弧度的角：把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
半径长
正数
负数
零
④弧度与角度的换算：360°＝ 弧度；180°＝ 弧度．
无关
角的大小
2π
π
l＝|α|r
2．任意角的三角函数
y
x
自变量
函数值
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3．三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为 ，即 ，其中cos α＝ ，sin α＝ ，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝ .我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的 、
、 .
(cos α，sin α)
P(cos α，sin α)
OM
MP
AT
余弦线
正弦线
正切线
MP
OM
AT
[小题能否全取]
1．－870°的终边在第几象限 (　　)
A．一　　　　　　　　　　B．二
C．三 D．四
解析：因－870°＝－2×360°－150°.－150°是第三象限角．
答案：C
答案： B
3．(教材习题改编)若sin α<0且tan α>0，则α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．
答案：C
5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，
面积为________．
答案：4　6π
1.对任意角的理解
(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°<α (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．
2．三角函数定义的理解
[例1]　已知角α＝45°，
(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；
(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；
而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN.
1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．
A．1个　　　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
(2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________象限．
答案：(1)C　(2)一
[例2]　(1)已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t>0)，则tan α的最小值为 (　　)
[答案]　(1)B　(2)D
定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．
答案：（1）B（2）C
[例3]　(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．
(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？
若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
3．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，
该扇形的周长取到最小值？
[答案]　－8
1.误认为点P在单位圆上，而直接利用三角函数定义，从而得出错误结果.
2.利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论.
答案： C
1．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，
则在[0,2π]内，α的取值范围是 (　　)
教师备选题（给有能力的学生加餐）
答案：B
2．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，
tan α的值．
(1)sin α＋cos α>1；
(2)sin α<α[知识能否忆起]
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系： ．
sin2α＋cos2α＝1(α∈R)
2．六组诱导公式
sin α
cos α
tan α
－sin α
－cos α
tan α
－sin α
cos α
－tan α
sin α
－cosα
－tanα
cos α
sin α
cos α
－sinα
[小题能否全取]
1．sin 585°的值为 (　　)
答案： A
答案： D
答案： B
应用诱导公式时应注意的问题
(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．
在(2)的条件下，sin2α＋sin 2α＝________.
2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二(参阅本节题型技法点拨)．
3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
A．3 B．－3
C．1 D．－1
(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________.
A．{1，－1,2，－2}　　　 B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
[答案]　(1)－1　(2)C
利用诱导公式化简求值时的原则
(1)“负化正”，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
(2)“大化小”，利用k·360°＋α(k∈Z)的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数．
(3)“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
(4)“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
2．(1)(2013·滨州模拟)sin 600°＋tan 240°的值等于(　　)
(2)已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中α，β，a，b均为非零实数，若f(2 012)＝－1，则f(2 013)等于________．
答案：(1)B　(2)1
(2)由诱导公式知f(2 012)＝asin α＋bcos β＝－1，
∴f(2 013)＝asin(π＋α)＋bcos(π－β)＝－(asin α＋bcos β)＝1.
2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小．
3．在三角形ABC中，
1．上述解法易理解掌握，但计算量较大，很容易出错．若利用sin α＋cos α，sin α·cos α，sin α－cos α三者之间的关系，即(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，问题迎刃而解．
2．对所求式子进行恒等变形时，注意式子正、负号的讨论与确定．
教师备选题（给有能力的学生加餐）
答案：A
[知识能否忆起]
1．周期函数
(1)周期函数的定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数． 叫做这个函数的周期．
f(x＋T)＝f(x)
T
(2)最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个
，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期．
最小的
正数
最小正数
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
2kπ
π＋2kπ
(kπ，0)
x＝kπ
[小题能否全取]
答案： D
2．(教材习题改编)下列函数中，最小正周期为π的奇
函数是 (　　)
答案： B
3．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是 (　　)
答案：C
答案：>
1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：
2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期．
1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：
(1)利用sin x、cos x的值域；
(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．
(1)函数的周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
求三角函数的单调区间时应注意以下几点：
(3)对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等，函数的单调区间求法与y＝Asin(ωx＋φ)类似．
2．(1)函数y＝|tan x|的增区间为________．
A．aC．bA．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
[答案]　C
1．三角函数的奇偶性的判断技巧
首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．
2．求三角函数周期的方法
(1)利用周期函数的定义．
(3)利用图象．
3．三角函数的对称性
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．
(2)(2013·遵义模拟)若函数f(x)＝sin ax＋cos ax(a>0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为 (　　)
答案： (1)A (2)C
含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些.正确利用三角函数的性质求解此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析.
1．根据三角函数的单调性求解参数
[答案]　2
答案： B
2．根据三角函数的奇偶性求解参数
[答案]　D
答案： D
3．根据三角函数的周期性求解参数
三角函数的参数问题，还可利用三角函数的周期，最值求解如本节以题试法3(2)．就是利用周期求参数a，解题时要注意x的系数ω是否规定了符号，若无符号规定，利用周期公式时需加绝对值．
教师备选题（给有能力的学生加餐）
答案： B
2．(2012·温州模拟)已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)为偶
函数(0<φ<π)，其图象与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数的一个递增区间可以是 (　　)
答案： A
答案：①②⇒③④(或①③⇒②④)
①它的最小正周期为π；
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
[知识能否忆起]
一、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
二、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
三、函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
　　　　　法一　　　　　　　　　　　法二
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[小题能否全取]
答案：C
答案： A
3．(2012·安徽高考)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，
只要将函数y＝cos 2x的图象 (　　)
答案：C
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)
在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
答案：3
(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的
图象？
[自主解答]　(1)列表取值：
x
f(x)
0
0
π
0
－3
0
2π
3
描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的作法
(2)图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
答案：A
[例2] (2011·江苏高考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．
若本例函数的部分图象变为如图所示，试求f(0)．
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：
2.(1)(2012·陕西师大附中模拟)若三角函数f(x)的部分图象如图，则函数f(x)的解析式，以及S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)的值分别为 (　　)
答案：A
答案：D
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
(1)求函数f(x)的解析式；
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定A、ω、φ问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力．
“大题规范解答——得全分”系列之(三)
由三角函数图象确定解析式的答题模板

(1)求函数f(x)的解析式；
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[教你快速规范审题]
1．审条件，挖解题信息
2．审结论，明解题方向
3．建联系，找解题突破口
1．审条件，挖解题信息
2．审结论，明解题方向
3．建联系，找解题突破口
[教你准确规范解题]
[常见失分探因]
易将单调区间写成不等式kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z或漏写k∈Z造成结论表述不准确.
易忽视φ的范围或点 为第二个平衡点而导致解题错误.
————————[教你一个万能模板]————————
根据图象确定五点作图中的第一个平衡点、第二个平衡点的坐标或图象的最高点、最低点
第一步
―→
将“ωx＋φ”作为一个整体，找到对应的值
(通常利用周期求ω，利用图象的某一个点
(通常选取平衡点)确定φ)
第
二
步
―→
列方程组求解(求φ时，要利用φ的范围)
第三步
―→
写出所求的函数解析式
第四步
―→
第五步
教师备选题（给有能力的学生加餐）
答案：C
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式．
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
x
y
0
－1
0
1
0
π
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象为：
[知识能否忆起]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝ ；
(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ；
(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ；
cos αcos β＋sin αsin β
cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
(4)S(α－β)：sin(α－β)＝ ；
sin αcos β－cos αsin β
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α：sin 2α＝ ；
(2)C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ ；
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
3．常用的公式变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
[小题能否全取]
A．2　　　　　　　　　　　B．3
C．4 D．6
答案： D
2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为 (　　)
答案：B
答案：B
1.两角和与差的三角函数公式的理解：
(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．
“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．
(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．
(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
三角函数公式的逆用与变形应用
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
答案：(1)A　(2)2
角 的 变 换
1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；
2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
答案：C

(1)求ω的值；
1.在解答本题时有两点容易失误：
(1)忽略角α，β的范围，求解cos α，sin β的值时出错；
(2)在利用两角和的余弦公式时由于对公式记忆不准确导致错误.
2.解决三角函数问题时，还有以下几点容易失误：
(1)对公式记忆不准确而使公式应用错误；
(2)三角公式不能灵活应用和变形应用；
(3)忽略角的范围或者角的范围判断错误.
教师备选题（给有能力的学生加餐）
(1)求f(x)的零点；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
[知识能否忆起]
半角公式(不要求记忆)
答案：B
[小题能否全取]
答案：B
答案：A
答案：2 013
三角恒等变换的常见形式
三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．
(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角

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