数 列
第一节 数列的概念与简单表示法
第二节 等差数列及其前n项和
第三节 等比数列及其前n项和
第四节 数列求和
第五节 数列的综合应用
目 录
数 列
[知识能否忆起]
1．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义：
①数列：按照 排列的一列数．
②数列的项：数列中的 ．
一定顺序
每一个数
(2)数列的分类：
有限
>
<
无限
(3)数列的通项公式：
如果数列{an}的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
2．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且 与它的 (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
任一项an
序号n
前一项an－1
答案：B
[小题能否全取]
2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为 (　　)
A．15 B．16
C．49 D．64
解析：a8＝S8－S7＝64－49＝15.
答案：A
答案：A
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析：a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54.
答案：54
1.对数列概念的理解
(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
2．数列的函数特征
数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．
[答案]　C
1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
由an与Sn的关系求通项an
(1)Sn＝2n2＋3n；
(2)Sn＝3n＋1.
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
答案：D
[例3]　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.
(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？
数列的性质
1．数列中项的最值的求法
根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数an＝f(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．
2．前n项和最值的求法
(1)先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值；
(2)根据数列的通项公式，若am≥0，且am＋1<0，则Sm最大；若am≤0，且am＋1>0，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.
答案：C

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式求通项公式的几种方法．
1．累加法
[典例1]　(2011·四川高考)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝ (　　)
A．0　　　　　　　　　　　B．3
C．8 D．11
[解析]　由已知得bn＝2n－8，an＋1－an＝2n－8，所以a2－a1＝－6，a3－a2＝－4，…，a8－a7＝6，由累加法得a8－a1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a8＝a1＝3.
[答案]　B
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
2．累乘法
3．构造新数列
[典例3]　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2；则an＝________.
[答案]　2×3n－1－1
教师备选题（给有能力的学生加餐）
答案：C
答案： B
答案： C
[知识能否忆起]
第2项
差
an＋1－an＝d
一、等差数列的有关概念
等差中项
a1＋(n－1)d
二、等差数列的有关公式
三、等差数列的性质
1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq.
2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd.
3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d.
4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和Sn有最小值．d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值．
[小题能否全取]
1．(2013·福建高考)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则
数列{an}的公差为 (　　)
答案：B
答案：D
答案：B
A．58 B．88
C．143 D．176
答案：2n－1
1.与前n项和有关的三类问题
(1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．
(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．
2．设元与解题的技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；
若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
[例1] 在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
等差数列的判断与证明
[自主解答]　(1)∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)，∴a2＝2a1＋22＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13.
1．证明{an}为等差数列的方法：
(1)用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列；
(2)用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列；
(3)通项法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列；
2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．
1．已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝
－2，a2＝2，S3＝6.
(1)求Sn；
(2)证明：数列{an}是等差数列．
解：(1)设Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，
[例2]　(2012·重庆高考)已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．
2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
答案：　(1)44　(2)6
[答案]　(1)B　(2)A
1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．
2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)(2013·海淀期末)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an
－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值
为 (　　)
“题型技法点拨——快得分”系列之（六）
特值法解等差数列问题

[答案]　n
2．特殊值法在解一些选择题和填空题中经常用到，就是通过取一些特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形等来求解或否定问题的目的；用特殊值法解题时要注意，所选取的特例一定要简单，且符合题设条件．
答案：C
解析：法一：∵a2＝a1＋1＝a1＋a1＝4，∴a1＝2，a9＝a8＋1＝a8＋a1＝2a4＋a1＝4a2＋a1＝18.
法二：∵a2＝a1＋1＝a1＋a1＝4，∴a1＝2，令p＝n，q＝1，所以an＋1＝an＋a1，即an＋1－an＝2，∴{an}是等差数列，且首项为2，公差为2，故a9＝2＋(9－1)×2＝18.
答案：B
法二：令n＝1，只有B项符合．
教师备选题（给有能力的学生加餐）
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2＋a4
＝14，S7＝70.
(1)求数列{an}的通项公式；
所以an＝3n－2.
(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{Cn＋1－λCn}是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由．
[知识能否忆起]
2
同一个常数
公比
1．等比数列的有关概念
(1)定义：
G
a1qn－1
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ .
(2)等比中项：
3．等比数列{an}的常用性质
(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….
(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列，公比为 ；
数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时q≠－1)；
an＝amqn－m.
qk
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于
(　　)
答案：C
答案：C
答案：A
A．64 B．81
C．128 D．243
1.等比数列的特征
(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
(2)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
2．等比数列的前n项和Sn
(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．
[例1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
等比数列的判定方法
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
[例2]　 (2011·全国高考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．
2．(2013·山西适应性训练)已知数列{an}是公差不为零的
等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{3an}的前n项和．
等比数列的性质
[例3]　(1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为 (　　)
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于 (　　)
A．1∶2 B．2∶3
C．3∶4 D．1∶3
[答案]　(1)B　(2)C
等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an＝f(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算．
3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋
a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝ (　　)
A．7　　　　　　　　　　　B．5
C．－5 D．－7
[答案]　(1)D (2)C
[典例]　设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，…)．则q的取值范围为________．
[答案]　(－1,0)∪(0，＋∞)
教师备选题（给有能力的学生加餐）
1．(2012·大纲全国卷)已知数列{an}的前n项和
为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝ (　　)
答案：B
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等
差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
3．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、
第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
[知识能否忆起]
一、公式法
1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q＝1或q≠1.
2．一些常见数列的前n项和公式：
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝ ；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝ ；
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝ .
n2
n2＋n
二、非等差、等比数列求和的常用方法
1．倒序相加法
如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的．
2．分组转化求和法
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
[小题能否全取]
1．(2012·沈阳六校联考)设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，
则对任意正整数n，Sn＝ (　　)
答案：D
答案：C
A．120 B．70
C．75 D．100
3．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且
其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为 (　　)
A．31 B．120
C．130 D．185
答案：C
4．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}
的前n项和为________．
答案：2n＋1＋n2－2
数列求和的方法
(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：
①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．
②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
[例1]　(2011·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前2n项和S2n.
[自主解答]　(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
当a1＝10时，不合题意．
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，故an＝2·3n－1.
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
1．已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，
p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：
(1)p，q的值；
(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．
解：(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋4q，
x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，
解得p＝1，q＝1.
[例2]　 (2012·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3.
(1)求an；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
用错位相减法求和应注意：
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
2．(2012·济南模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且
满足Sn＝3n＋k.
(1)求k的值及数列{an}的通项公式；
解：(1)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－3n－1－k＝2·3n－1，得等比数列{an}的公比q＝3，首项为2.
∴a1＝S1＝3＋k＝2，∴k＝－1，∴数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1.
裂项相消法求和
[例3]　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n∈N*)．　
(1)求数列{an}的通项公式；
[自主解答]　(1)∵Sn＝nan－n(n－1)，当n≥2时，
Sn－1＝(n－1)·an－1－(n－1)(n－2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝nan－n(n－1)－(n－1)an－1＋(n－1)·(n－2)，
即an－an－1＝2.
∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，
故an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，n∈N*.
利用裂项相消法求和应注意
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；
3．(2012·“江南十校”联考)在等比数列{an}中，a1>0，
n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中项为16.
(1)求数列{an}的通项公式；
解：(1)设数列{an}的公比为q，由题意可得a3＝16，
∵a3－a2＝8，则a2＝8，∴q＝2.
∴an＝2n＋1.
数列求和是高考的重点，题型以解答题为主，主要考查等差、等比数列的求和公式，错位相减法及裂项相消求和；数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起，考查内容较为全面，在考查基本运算、基本能力的基础上又注重考查学生分析问题、解决问题的能力．
“大题规范解答——得全分”系列之(五)
 利用错位相减法解决数列求和的答题模板
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(1)确定常数k，求an；
[教你快速规范审题]
1．审条件，挖解题信息
2．审结论，明解题方向
3．建联系，找解题突破口
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[教你准确规范解题]
[常见失分探因]
错位相减时，易漏项或求错项数.
利用an＝Sn－Sn－1时，易忽视条件n≥2，即不验证a1 ＝ 是否适合an＝ .
————————[教你一个万能模板]————————
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利用错位相减法求数列的前n项和，一般可用以下几步解答：
将数列{cn}写成两个数列的积的形式cn＝anbn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列
写出数列{cn}的前n项和Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn
第三步：Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn的两边同乘以公比q，得qSn＝qa1b1＋qa2b2＋…＋qanbn
―→
―→
两式错位相减得(q－1)Sn
等式两边同时除以q－1，得Sn
反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范.如本题错位相减时，是否有漏项
教师备选题（给有能力的学生加餐）
1．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，
且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
(1)求{an}的通项公式和Sn；
3．已知二次函数f(x)＝x2－5x＋10，当x∈(n，n＋1]
(n∈N*)时，把f(x)在此区间内的整数值的个数表示为an.
(1)求a1和a2的值；
(2)求n≥3时an的表达式；
(2)当n≥3时，f(x)是增函数，故an＝f(n＋1)－f(n)＝2n－4.
[知识能否忆起]
1．数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：
2．数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．
[小题能否全取]
1．某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年级
的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是 (　　)
A．800　　　　　　　　　　B．820
C．840 D．860
答案：B
2．(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在
每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要 (　　)
A．6秒钟 B．7秒钟
C．8秒钟 D．9秒钟
答案：B
3．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数
列，且a6＝b7，则有 (　　)
A．a3＋a9≤b4＋b10　B．