第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
3.对一个命题p全盘否定记作 ，读作“非p”或“p的否定”.
2.用联结词“或”联结命题p和命题q，记作 ，读作“ ”.
一、简单的逻辑联结词
1.用联结词“且”联结命题p和命题q，记作 ，读作“ ”.
p∧q
p且q
p∨q
p或q
4.命题p∧q，p∨q， 的真假判断.
假
假
假
假
假
真
真
真
真
真
假
真
二、全称量词与存在量词
1.全称量词与全称命题
(1)短语“ ”、“ ”在逻辑中通常叫做全称量词， 并用符号“ ”表示.
(2)含有 的命题，叫做全称命题.
(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：
，读作“ ”.
所有的
任意一个
∀
全称量词
∀x∈M，p(x)
对任意x属于M，有p(x)成立
2.存在量词与特称命题
(1)短语“ ”、“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.
(2)含有 的命题，叫做特称命题.
(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简
记为： ，读作“
”.
存在一个
至少有一个
存在量词
∃
存在一个x0属于M，使p(x0)
∃x0∈M，P(x0)
成立
三、含有一个量词的命题的否定
全称命题与特称命题的否定有什么特点？
提示：全称命题的否定是特称命题，特称命
题的否定是全称命题.
1.命题“存在x0∈R, ≤0”的否定是 (　　)
A.不存在x0∈R, >0
B.存在x0∈R, ≥0
C.对任意的x∈R,2x≤0
D.对任意的x∈R,2x>0
答案：D
解析：特称命题的否定是全称命题，故命题的否定是“对任意的x∈R,2x>0”.
2.若“p且q”与“ p或q”均为假命题，则 (　　)
A.p真q假　　　　　　 B.p假q真
C.p与q均真 D.p与q均假
解析：p且q为假，则p与q不可能全真，而 p或q为假，
则 p与q均为假，从而p为真，q为假.
答案：A
3.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用符号“∃”写成特称命题为 （ ）
答案：∃x∈R且x<0，(1＋x)(1－9x2)>0
4.命题“任意x∈R，存在m∈Z，m2－m＜x2＋x＋1”是 （ ）命题.(填“真”或“假”)
解析：由于任意
因为只需m2－m≤0，即0≤m≤1，所以当m＝0或m＝1时，任意x∈R，m2－m＜x2＋x＋1成立，因此命题是真命题.
答案：真
1.对“或”“且”“非”的理解
(1)“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同.对于逻辑用语 “或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念：在
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”是指“x∈A”与“x∈B”
中至少有一个成立，可以是“x∈A且x∉B”，也可以是 “x∉A且x∈B”，也可以是“x∈A且x∈B”，逻辑用语中的
“或”与并集中的“或”的含义是一样的.
(2)对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}中的“且”是指“x∈A”“x∈B”都要满足的意思，即x既要属于集合A，又要属于集合B.
(3)对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：若将
命题p对应集合P，则命题非p就对应着集合P在全集U中
的补集∁UP.对于非的理解，还可以从字意上来理解，
“非 ”本身就具有否定的意思.一般地，写一个命题的否
定，往往需要对正面叙述的词语进行否定.
2.“p∨q”、“p∧q”、“ p”形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题p、q的真假；
(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“ p”形式命题的真假.
写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、
“ p”形 式的复合命题，并判断真假.
(1)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；
(2)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同；q：方程x2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等.
(1)利用“或”、“且”、“非”把两个命题联结成新命题；
(2)根据命题p和命题q的真假判断复合命题的真假.
【解】　(1)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题.
p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直.假命题.
p：有些平行四边形的对角线不相等.真命题.
(2)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等.假命题.
p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等.假命题.
p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不相同.真命题.
1.已知命题p：∃x∈R，使tanx＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1 ①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧ q”是假命题；
③命题“ p∨q”是真命题；④命题“ p∨ q”是假命题.
其中正确的是 （ ）
A.②③　　　　　　　　　 B.①②④
C.①③④ D.①②③④
答案：D
1.要判定全称命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证
明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)
不成立，那么这个全称命题就是假命题；
2.要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至
少能找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题.
【注意】　有些命题中量词并不明显，做题注意分辨.
判断下列命题是否是全称命题或特称命题，
若是，用符号表示，并判断其真假.
(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；
(2)任何一条直线都存在斜率；
(3)所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解；
(4)存在实数x，使得
首先明确命题中的量词，再确定命题的名称.
【解】　(1)是一个特称命题，用符号表示为：∃α∈R，sin2α＋cos2α≠1，是一个假命题.
(2)是一个全称命题，用符号表示为：∀直线l，l存在斜率，是一个假命题.
(3)是一个全称命题，用符号表示为：∀a，b∈R，方程
ax＋b＝0恰有唯一解，是一个假命题.
(4)是一个特称命题，用符号表示为：
是一个假命题.
2.判断下列命题的真假：
(1)每个指数函数都是单调函数；
(2)任何实数都有算术平方根；
(3)任意x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(4)存在x∈R，x3≤0；
解：(1)指数函数的形式为y＝ax(其中a＞0且a≠1)，定义
域{x|x∈R}，对每一个符合题意的a，函数y＝ax都是单调的，当a＞1时，函数y＝ax在R上为增函数.当0＜a＜1时，函数y＝ax在R上为减函数，所以，全称命题“每个指数函数都是单调函数”是真命题.
(2)－1是实数，但x2＝－1无解，也就是 无意义，
所以，全称命题“任何实数都有算术平方根”是假命题.
(3) 是无理数，但 是有理数，所以，全称命题“任意x∈{x|x是无理数}，x2是无理数”是假命题.
(4)由于－1∈R，当x＝－1时，x3≤0，所以，特称命题“存在x∈R，x3≤0”是真命题.
1.全称命题(特称命题)的否定与命题的否定有着一定的区别，
全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或
存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定
则直接否定结论即可.从命题形式上看，全称命题的否定
是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
2.常见词语的否定形式有：
写出下列命题的否定并判断其真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0有实数根；
(2)p：有的三角形的三条边相等
(3)p：菱形的对角线互相垂直；
(4)p：∃ ∈N，
【解】　(1) p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根.因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故 p为假命题.
(2) p：所有的三角形的三条边不全相等.
显然 p为假命题.
(3) p：有的菱形对角线不垂直.
显然 p为假命题.
(4) p：∀x∈N，x2－2x＋1>0.
显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故 p是假命题.
3.写出下列命题的否定形式：
(1)有些三角形的三个内角都等于60°；
(2)能够被3整除的整数，能够被6整除；
(3)∃θ∈R，使得函数y＝sin(2x＋θ)是偶函数；
(4)∀x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|>0.
解：(1)任意一个三角形的三个内角不能都等于60°.
(2)存在一个能够被3整除的整数，不能够被6整除.
(3)∀θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)都不是偶函数.
(4)∃x，y∈R，|x＋1|＋|y－1|≤0.
考点4：根据逻辑关系求参数范围
例4（1）若命题“∃x∈R，使得 ＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是　　　　.

（2）
已知c＞0，设命题p：函数y＝ 为减函数.
命题q：当x∈[ ，2]时，函数f(x)＝x＋ ＞
恒成立.
如果p或q为真命题，p且q为假命题.
求c的取值范围.
全称量词、存在量词以及全称命题和特称命题这一部分内容往往能够和其他的知识联系起来，通过这两类量词的理解与运用，可以很好地考查学生的能力，这一内容是高考命题的热点内容.2009年宁夏、海南卷就考查了这一内容.
(2009·宁夏、海南高考)有四个关于三角函数的命题：
其中的假命题是 ( 　　) A.p1，p4　　　　　　　　　B.p2，p4
C.p1，p3 D.p2，p3
[解析]　∵对任意x∈R，均有
而不是 ，故p1为假命题.当x，y，x－y有一个为2kπ(k∈Z)时，sinx－siny＝sin(x－y)成立，故p2是真命题.
又x∈[0，π]时，sinx≥0，∴对任意x∈[0，π]，均有
=sinx，因此p3是真命题.当sinx＝cosy，即
时， 即
，故p4为假命题.
[答案]　A
本题考查全称命题与特称命题真假的判断.同时考查学生对三角函数公式的理解情况.