第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、命题
　　在数学中用语言、符号或式子表达的，可以
叫做命题.其中 的语句叫做真命题， 的语句叫做假命题.
判断真假的陈述句
判断为真
判断为假
二、四种命题及其关系
1.四种命题及其关系
“否命题”是“命题的否定”吗？
提示：不是，“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，如果原命题是“若p，则q”，那么这个原命题的否定是“若p，则非q”，即只否定结论，而原命题的否命题是“若 p，则 q”，即既否
定命题的条件，又否定命题的结论.
三、充分条件与必要条件
1.如果p⇒q，那么p是q的 ，q是p的 ；
2.如果p⇒q，q⇒p，那么p是q的 .
2.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性
.
没有关系
充分条件
必要条件
充要条件
相同
1.下列命题是真命题的为 (　　)
解析：由 得x＝y，A正确，B、C、D错误.
答案：A
A.若 B.若
C.若 D.若
2.命题“若x＝1或x＝6，则(x－1)(x－6)＝0”的逆否命题是
(　　)
A.若x≠1或x≠6，则(x－1)(x－6)≠0
B.若x≠1且x≠6，则(x－1)(x－6)≠0
C.若(x－1)(x－6)≠0，则x≠1或x≠6
D.若(x－1)(x－6)≠0，则x≠1且x≠6
解析：首先根据命题“若p则q”的逆否命题为“若 q则 p”，排除A、B，再根据命题“p且q”的否定是“ p或 q”，命题“p或q”的否定是“ p 且 q”，可知C错误，D正确.
答案：D
3.对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：当a＋b＝0时，a＝－b，∴a∥b；
当a∥b时，不一定有a＝－b.
∴“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件.
答案：A
4.i、j是不共线的单位向量，若a＝5i＋3j，b＝3i－5j，则
a⊥b的充要条件是　　　　.
解析：a⊥b ⇔a·b＝0，即(5i＋3j)·(3i－5j)=0，
即15i2－16i·j－15j2＝0，∵|i|＝|j|＝1，
∴16i·j＝0，即i·j＝0，∴i⊥j.
答案：i⊥j
【答案】　A
6．(2009年陕西)“m＞n＞0”是“方程
表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】　C
7.(2009年四川)已知a，b，c，d为实数，且c＞d.则“a＞b”是“a－c＞b－d”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　由a－c＞b－d，c＞d两个同向不等式相加得a＞b，但c＞d，a＞b⇒/ a－c＞b－d.例如a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－3时，a－c＜b－d.充分性不成立，故选B.
【答案】　B
1.判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述
句”和“可以判断真假”这两个条件.只有这两个条件都具备的语句才是命题.
2.对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，
只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确
地判断命题的真假.
判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.
(1)大角所对的边大于小角所对的边；
(2)x＋y是有理数，则x，y也都是有理数；
(3)求证：x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实数根.
依据命题、真命题、假命题的定义来判定.
【解】　(1)是假命题，没有考虑到必须在同一个三角
形中.
(2)是假命题，若x＝ ，y＝－ ，则x＋y＝0是有理数，x，y是无理数.
(3)祈使句，不是命题.
1.判断下列语句是否为命题，若是，判断其真假并说明理由.
(1)求证： 是无理数.
(2)x2＋4x＋4≥0.
(3)你是高二的学生吗？
(4)一个正数不是素数就是合数.
(5)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
解：(1)、(3)不是命题，(1)是祈使句，(3)是疑问句，而(2)、(4)、(5)是命题，其中(4)是假命题，如正数 既不
是素数也不是合数，(2)、(5)是真命题，x2＋4x＋4＝
(x＋2)2≥0恒成立，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0恒成立.
在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”和“逆否命题”.
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.
(1)正三角形的三内角相等；
(2)全等三角形的面积相等；
(3)已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
先找出原命题的条件p和结论q，然后根据四种命题之间的关系直接写出.
【解】　(1)原命题即是“若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等.”
逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形(或写成：三个内角相等的三角形是正三角形).
否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等.
逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形(或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形).
(2)原命题即是“若两个三角形全等，则它们的面积相等”.
逆命题“若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等”(或写成：面积相等的三角形全等).
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等(或写成：不全等的三角形面积不相等).
逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等.
(3)原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则
a＋c＝b＋d”.其中“已知a，b，c，d是实数”是大前提，
“a与b，c与d都相等”是条件p，“a＋c＝b＋d”是结论q，所以逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则
a与b，c与d都相等.
否命题：已知a，b，c，d是实数，若a与b，c与d不都相等，则a＋c≠b＋d.
逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则
a与b，c与d不都相等.
2.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判
断它们的真假：
(1)实数的平方是非负数；
(2)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(3)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数.
解：(1)原命题是真命题.
逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.真命题.
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.真命题.
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.
真命题.
(2)原命题是真命题；
逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，为真命题；
否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为真命题；
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，为真命题.
(3)原命题是真命题；
逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题；
否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题；
逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题.
判断一个命题是另一个命题的什么条件，关键是利用定义：如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，原命题(或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的必要条件；如果q⇒p，则p叫做q的必要条件，逆命题(或否命题)成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的充分条件；如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p叫做q的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立，命题中的条件是充要的.
【注意】　从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，
大范围不能推出小范围.
指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝2，
q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切；
(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0；
(3)设l，m均为直线，α为平面，其中l⊄α，m⊂α，
p：l∥α，q：l∥m；
(4)设α∈( )，β∈( )，p：α<β，
q：tanα(1)先分清命题的条件与结论；
(2)分析由前者能否推出后者，由后者能否推出前者，也可利用反例来推证.
【解】　(1)若a＋b＝2，圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离d＝
所以直线与圆相切，反之，若直线与圆相切，
则|a＋b|＝2，∴a＋b＝±2，
故p是q的充分不必要条件.
(2)若|x|＝x，则x2＋x＝x2＋|x|≥0成立.
反之，若x2＋x≥0，
即x(x＋1)≥0，则x≥0或x≤－1.
当x≤－1时，|x|＝－x≠x，
因此，p是q的充分不必要条件.
(3)∵l∥α l∥m，但l∥m⇒l∥α，
∴p是q的必要不充分条件.
(4)∵ 时，
正切函数y＝tanx是单调递增的，
∴当 且α<β时，tanα∴p是q的充要条件.
3.给出以下命题，判断p是q的什么条件？
(1)p：A＝B，q：sinA＝sinB；
(2)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；
(3)p：正方形，q：菱形；
(4)
4.已知p：|5x－2|＞3，q：

＞0.则¬p是¬q的什么条件？
解：(1)当A＝B时，sinA＝sinB；当sinA＝sinB，A不一定等于B，如
所以p是q的充分不必要条件.
(2)当x>2且y>3时，x＋y>5成立；
当x＋y>5时，不一定有x>2且y>3成立，如x＝0，y＝6.
所以p是q的充分不必要条件.
(3)正方形一定是菱形，菱形不一定是正方形，
所以p是q的充分而不必要条件.
(4)当a>b时， 不一定成立，如a＝2，b＝－1.
当 时，a>b不一定成立，如a＝－3，b＝2.
所以p是q的既不充分也不必要条件.
 
4. ¬p是¬q的充分而不必要条件
考点4：利用条件求参数范围
例4：已知命题
5.已知不等式 成立的充分而
不必要条件是 则m的取值范围是
近年高考试题中，大都考查了充要条件，其考查形式为选择或填空题，考查内容多与集合、函数、数列、不等式、立体几何等知识相结合.2009年安徽卷理科第4题就考查了充要条件，涉及知识面广，充分考查学生对基础知识的掌握.
(2009·安徽高考)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是
A.p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d
B.p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象不过第二象限
C.p：x＝1，q：x2＝x
D.p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为
增函数
[解析]　由于a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，而a＋c>b＋d却不一定推出a>b，c>d.故A中p是q的必要不充分条件.B中，当a>1，b>1时，函数f(x)＝ax－b不过第二象限，当f(x)＝
ax－b不过第二象限时，有a>1，b≥0.故B中p是q的充分不必要条件.C中，因为x＝1时有x2＝x，但x2＝x时不一定有
x＝1，故C中p是q的充分不必要条件.D中p是q的充要条件.
[答案]　A
本题中p是q的必要不充分条件，要求p，q满足q⇒p但
，同学们思考一下能否写出B选项中q命题的一个必要不充分条件.