2.4指 数 函 数
1.指数幂的概念
(1)根式
一般地,如果 xn=a (a∈R,n>1,且n∈N*), 那么x 叫做 .式子 叫做 ,这里n叫做 ,
a叫做 .
(2)根式的性质
a的n次方根
根式
根指数
被开方数
考点分析
①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号 表示.
②当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的n次方根用符号 表示, 负的n 次方根用符号 表示.正负两个n次方根可以合写为
(a>0).
③( )n= .
④当n为奇数时, = ;
当n为偶数时, =|a|=
⑤负数没有偶次方根.
⑥零的任何次方根都是零.
a
a
a (a≥0)
- a (a<0)
[思考探究1]
　　分数指数幂与根式有何关系？
提示：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算.
2.有理指数幂
(1)分数指数幂的表示
①正数的正分数指数幂是
= (a>0,m,n∈N*,且n>1).
②正数的负分数指数幂是


③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂没有意义.
2)有理指数幂的运算性质:
①aras= (a>0,r,s∈Q).
②(ar)s= (a>0,r,s∈Q).
③(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).
= = (a>0,m,n∈N*,且n>1).
ars
3.指数函数的图象与性质
R
(0,+∞)
(0,1 )
y>1
00y>1
增函数
减函数
[思考探究2]
　　如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，如何确定底数a，b，c，d与1之间的大小关系.
提示：在图中作出直线x＝1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c＞d＞1＞a＞b，所以无论在y轴的右侧还是左侧，底数按逆时针方向依次变大.
指数幂的化简与求值的原则及结果要求
1.化简原则
(1)化根式为分数指数幂；
(2)化小数为分数；
(3)注意运算的先后顺序.
2.结果要求
（1）若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；
（2）若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指
数幂表示；
（3）结果不能同时含有根号合分数指数幂，也不能既有
分母又有负指数幂.
考点一 指数幂的运算
求值或化简:
(4)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,求 的值.
题型分析
【解析】 (1)指数幂运算性质的核心是“同底”.原式=
(2)原式=
【分析】 (1)当化简的式子中既有根式又有分数指数时,要化为分数指数以便于运算,是根式的最后的结果再化为根式.
(2)条件求值,可据已知条件直接代入求值,但较繁,也可考虑先将式子化简(变形)再求值.
(3)原式=
(4)方法一:∵a,b是方程x2-6x+4=0的两根,
a+b=6
ab=4.
∵a>b>0,∴ ,
∴
方法二:∵a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b,而由
x2-6x+4=0,得x1=3+ ,x2=3- ,
∴a=3+ ,b=3- ,
∴
【评析】 (1)一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时还要注意运算顺序问题.
(2)对于计算结果,如果题目以根式形式给出,则结果用根式的形式表示;如果题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指数幂的形式表示.
(3)结果不能同时含有根号和分数指数, 也不能既有分母又含有负指数.
(4)在条件求值问题中,一般先化简变形,创造条件简化运算,而后再代入求值.
＊对应演练＊
化简下列各式(其中各字母均为正数):
(1) 原式=
(2)原式=
考点二 指数函数的图象
已知函数
（1）作出图象；
（2）由图象指出其单调区间；
（3）由图象指出，当x取什么值时有最值.
例1：
变式：
2.
(-∞,-2)
例2.函数f(x)=a-2x的图象经过原点，则不等式f(x)> 的解集是 .
由f(x)的图象经过原点知a=1，
所以f(x)=1-2x>  2x<  x<-2.
3.设y1=40.9,y2=80.48,y3=( )-1.5,则( )
A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3
C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
D
幂值大小比较问题，首先考虑指数函数的单调性，不同底先化成同底.
y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=( )-1.5=21.5.
又因为y=2x在R上是单调增函数，1.8>1.5>1.44, 所以y1>y3>y2.
练：
4.(1)若直线y=2a与y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a∈ ；

(2)已知f(x)=( + )x，x≠0，若f(x)>0在定义域内恒成立,则a的取
值范围为 .
(0 ， )
(1,+∞)
（1）数形结合法.当a>1时，作图知无解；
当0（2）f(x)= >0 x(ax-1)>0.
当x>0时,ax-1>0 ax>a0,又x>0,所以a>1；
当x<0时,ax-1<0 ax1.
综上，a的取值范围为(1,+∞).
变式： 函数y=
的图象大致为（ ）
A
要使函数有意义，需使ex-e-x≠0，其定义域为｛x|x≠0｝,排除C、D.
又因为y= = = 1+ ,
所以当x>0时，函数为减函数，故选A.
考点三 指数函数的性质
求下列函数的定义域、值域及其单调区间：
（1）f(x)= ;
（2） g(x)=-( )x+4( )x+5.
【分析】 (1) 定义域是使函数有意义的x的取值范围,单调区间利用复合函数的单调性求解.
(2) 利用换元法,同时利用复合函数单调性判断方法进而求得值域.
【解析】 (1)依题意x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1,
∴f(x)的定义域是(-∞,1］∪［4,+∞).
令u= ,
∵x∈(-∞,1］∪［4,+∞),
∴u≥0,即 ≥0,
而f(x)= ≥30=1,
∴函数f(x)的值域是［1,+∞).
∵u= ,
∴当x∈(-∞,1］时,u是减函数;
当x∈［4,+∞)时,u是增函数.
而3>1,∴由复合函数的单调性可知,
f(x)= 在(-∞,1］上是减函数,在［4,+∞)上是增函数.
故f(x)的增区间是［4,+∞),减区间是(-∞,1］.
(2)g(x)=-( )x+4( )x+5=-( )2x+4( )x+5.
∴函数的定义域为R，令t=( )x(t>0),
∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,
∵t>0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9, 等号成立的条件是t=2,
即g(x)≤9,等号成立的条件是( )x=2,即x=-1,
∴g(x)的值域是(-∞,9］.
由g(t)=-(t-2)2+9(t>0)，而t=( )x是减函数，
∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，
求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.
∵g(t)在(0,2］上递增,在［2,+∞)上递减,
由0由t=( )x≥2,可得x≤-1.
∴g(x)在［-1,+∞)上递减，在(-∞,-1］上递增，
故g(x)的单调递增区间是(-∞,-1］,单调递减区间是
［-1,+∞).
【评析】（1）涉及复合函数单调性问题，首先应弄清函数是由哪些基本函数复合得到的，求出复合函数的定义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间.
（2）利用定义证明时可分层比较,对于内外层函数,注意“同增异减”.
＊对应演练＊
求下列函数的单调递增区间:
（1） y= ; （2） y= .
（1）函数的定义域为R.
令u=6+x-2x2,则y=( )u.
∵二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x= ，在区间[ ,
+∞)上，u=6+x-2x2是减函数,又函数y=( )u是减函数,
∴函数y= 在[ ,+∞)上是增函数.
故y= 的单调递增区间为[ ,+∞).
(2)令u=x2-x-6,则y=2u,
∵二次函数u=x2-x-6的对称轴是x= ,
在区间[ ,+∞上u=x2-x-6是增函数.
又函数y=2u为增函数,
∴函数y= 在区间[ ,+∞上是增函数.
故函数y= 的单调递增区间是[ ,+∞).
考点四 指数函数性质的综合应用
已知f(x)= .
(1)判断函数的奇偶性;
(2)证明:f(x)是定义域内的增函数;
(3)求f(x)的值域.
【分析】本题是一道综合题,需利用函数的有关性质,如单调性、奇偶性等知识来解决.
【解析】(1)∵f(x)的定义域为R,
且f(-x)= = - f(x), ∴f(x)是奇函数.
(2)证明:证法一:f(x)=
令x2>x1,则f(x2)-f(x1)
当x2>x1时, >0.
又∵ >0, >0,
故当x2>x1时,f(x2)-f(x1)>0,
即f(x2)>f(x1),∴f(x)是增函数.
证法二:考虑复合函数的增减性.
f(x)=
∵y1=10x为增函数,
∴y2=102x+1为增函数,y3= 为减函数,
y4=- 为增函数,f(x)= 为增函数.
∴f(x)= 在定义域内是增函数.
(3)令y=f(x),由y= ,解得102x= ,
∵102x>0,∴-1即f(x)的值域为(-1,1).
【评析】记住下列函数的增减性,对解 (证) 题
是十分有用的:
(1)若f(x)为增(减)函数,则 -f(x) 为减(增)函数 ;
(2)若f(x)为增(减)函数,则f(x)+k 为增(减)函数;
(3)若f(x),g(x)为增函数,则 f(x)+g(x)为增函数.
＊对应演练＊
已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈
(0,1)时,f(x)= .
(1)求f(x)在［-1,1］上的解析式;
(2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数.
(1)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).
∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=
由f(0)=f(-0)=-f(0),
且f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.
,x∈(0,1)
,x∈(-1,0)
0, x∈{-1,0,1}.
(2)证明:当x∈(0,1)时,f(x)= .
设0则f(x1)-f(x2)=
∵0∴ - >0. -1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在(0,1)上单调递减.
∴在区间［-1,1］上,有f(x)=
[自主体验]
若x∈[－1,1]时，22x－1＜ax＋1恒成立，则实数a的取值范围为 (　　)
A.( ，＋∞)　　　　　B.( ，＋∞)
C.(2，＋∞) D.( ，＋∞)
解析：由22x－1＜ax＋1⇒(2x－1)lg2＜(x＋1)lga
⇒x·lg －lg(2a)＜0，
设f(x)＝x·lg －lg(2a)，由当x∈[－1,1]时，f(x)＜0恒成立，得 ⇒ ⇒a＞ 为所求的范围.
答案：A
1.单调性是指数函数的重要性质, 特别是函数图象的无限伸展性,x轴是函数图象的渐近线 . 当0x→+∞,y→0;当a>1时,x→-∞,y→0;当a>1时,a的值 越大,图象越靠近y轴,递增的速度越快;当0 2.画指数函数y=ax的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1, ).
3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题 ，通过解方程（组）来求值，或用换元法转化为方程来求解.
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4.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质受a 的影响,要分a>1与0 5.对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0) 的指数方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围.

如果你很有天赋，勤勉会使天赋更加完善；如果你的才能平平，勤勉会补足缺陷。
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