第 讲
1
集合的概念
第一章 集合与简易逻辑
1. 集合中的元素具有三个特性，分别是(1) ，(2) ， (3) .
2. 集合的表示方法常用的有三种，分别是(4) ， (5) ， (6) .
3. 按集合中元素的个数可将集合分成(7) ， (8) 和空集.
确定性
互异性
无序性
列举法
描述法
图示法
有限集
无限集
4. 特殊的集合一般用特定的字母表示，实数集用字母(9) 表示，有理数集用字母 (10) 表示，整数集用字母 (11) 表示，自然数集用字母(12) 表示，正整数集用字母(13) 表示.
R
Q
Z
N
N*(或N+)
5. a是集合A的元素可表示为(14) ，a不是集合A的元素可表示为(15) ；集合A是集合B的子集可表示为(16) ，集合A是集合B的真子集可表示为(17) ；集合A与集合B相等(即A=B)的充要条件是 (18) ; (19) 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
a∈A
空集
1.用符号“∈”与“”填空，其中A={y|y=x2+1,x∈N},B={(x,y)|y=x2-2x+2,x∈R},则：
(1)0 A;3.5 A;10 A;(1,2) A.
(2)(0,0)  B;(1,1) B;2 B.
∈
∈
(1)A={y|y=x2+1,x∈N}是函数y=x2+1 (x∈N)的值域，
所以0  A;3.5  A;10 ∈ A;(1,2) A.
(2)B={(x,y)|y=x2-2x+2,x∈R}是函数y=x2-2x + 2(x∈R)图象上的点的集合，
所以(0,0) B;(1,1)∈B;2 B.
2.已知M={x|x>1},N={x|x>a}，且MN，则( )
A.a≤1
B. a<1
C. a≥1
D. a>1
画图即得B.
B
3.已知全集U=Z，
A={x|x=4k-1,k∈Z},
B={x|x=4k+1,k∈Z}.
指出A与CUB,B与 CUA的关系.
U=Z，A={x|x=4k-1,k∈Z}={x|x=4(k-1)+3,k∈Z}={x|x=4k+3,k∈Z},
由B={x|x=4k+1,k∈Z}，得 CUB={x|x=4k,或x=4k+2,或x=4k+3,k∈Z},
所以A C UB，从而B CUA.
题型一：元素与集合，集合与集合的关系
1. (原创)已知A={x| ，x∈R}，a= ，b= ， 则( )
A. a∈A且bA B. a A且b∈A
C. a∈A且b∈A D. {a} A且{b} A
由 及 ，可知a∈A且b∈A，故选C.
C
点评：元素与集合之间的关系是从属关系，即“属于”或“不属于”中两者必居其一，这也是集合中元素的“确定性”性质，而集合与集合之间是“包含”与“不包含”的关系.
下列集合中表示空集的是( )
A. {x∈R|x+5=5} B. {x∈R|x+5>5}
C. {x∈R|x2=0} D. {x∈R|x2+x+1=0}
因为选项A、B、C中表示的集合分别为{0}，{x|x>0}，{0}，所以不是空集；又因为x2+x+1=0无实数解，所以{x∈R|x2+x+1=0}表示空集，故选D.
D
题型二 ：元素互异性问题
2. 已知全集S={1,3,x3-x2-2x},A={1,|2x-1|},
如果CSA={0}，则这样的实数x是否存在？
若存在，求出x的值；
若不存在，说明理由.
解法一：因为CSA={0},所以0∈S且0 A,
所以x3-x2-2x=0，解得x=0或x=-1或x=2.
当x=0时，|2x-1|=1，不满足A中元素的互异性；
当x=-1时，|2x-1|=3∈S;
当x=2时，|2x-1|=3∈S.
所以这样的实数x存在，且x=-1或x=2.
解法2：因为CSA={0},所以0∈S且0A,3∈A.
所以x3-x2-2x=0且|2x-1|=3,
解得x=-1或x=2.
点评：集合中元素的互异性指的是集合中的元素互不相同，故本题在求出x的值后，须检验元素的互异性.本题当x=0时，|2x-1|=1不能满足集合A中元素的互异性.求解此题的关键是理解符号CSA={0}的两层含义：0∈S且0 A.
(1)集合{2a，a2-2a}中，a的取值范围是____________；
(2)已知集合A={a+2,2a2+a}，若3∈A，则a=____________.
(1)由集合中元素的互异性可知，a必须满足：2a≠a2-2a，解得a ≠ 0且a ≠ 4，故a的取值范围是{a|a ≠ 0且a ≠ 4}．
(2)因为3∈A，所以a+2=3或2a2+a=3.
当a+2=3时，a=1，此时2a2+a=3，与集合元素互异性矛盾，故舍去；
当2a2+a=3时，a= 或a=1(舍去)，此时a+2= ，满足集合中元素的性质．
综上所述，a= .
题型三：子集问题
3. 设集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}，若B A，求实数m的值.
由x2+x-6=0解得x1=-3，x2=2，
所以A={-3，2}.
若m=0，则B= ，符合条件.
若m≠0，则B={ }，
因为B A， 所以 =-3或 =2，
即m= 或m= .
综上所述，m=0或 或= .
若A={x|x=a2+2a+4，a∈R}，B={y|y=b2-4b+3，b∈R}，则A与B的关系为 .
因为x=(a+1)2+3，a∈R，所以x≥３，
所以A={x|x≥3}.又y=(b-2)2-1，b∈R，
所以y≥-1，所以B={y|y≥-１}，故A B.
1. 元素与集合，集合与集合的关系
关键是符号∈与和与的选取，实质上就是准确把握两者是元素与集合，还是集合与集合的关系.
2. “数形结合”的思想在集合中的应用　　
认清集合的特征，准确地转化为图形关系，借助图形使问题直观、具体、准确地得到解决，因此要重视数形结合的思想方法的运用(如数轴、几何图形、韦恩图等).数集的运算，一般使用数轴；集合间的包含关系的判断，通常使用韦恩图，简捷且直观.