1．几类函数模型
(1)一次函数模型：_____________．
(2)二次函数模型： __________________ ．
(3)指数函数模型： __________________________ ．
(4)对数函数模型： ____________________________ ．
(5)幂函数模型： ____________________．
2．函数模型的应用实例
根据收集的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程如下：
y＝ax＋b(a≠0)
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
y＝m·ax＋n(m≠0，a>0，a≠1)
y＝m·logax＋n(a>0，a≠1，m≠0)
y＝a·xn＋b(a≠0，n≠1)
1．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系式较为近似的是 (　　)
答案　C
2．用固定的速度向右图形状的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系图象是 (　　)
解析：开始时，高度增加比较缓慢，随着时间的推移高度增加变快．故选B.
答案：B
3．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为 (　　)
解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.
答案：D
4．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为 (　　)
解析：函数关系式为h＝20－5t.故选B.
答案：B
1．函数模型的应用实例
解函数应用问题，一般可按以下四步进行．
第一步：阅读理解，认真审题，即读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．
在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试问题的函数化．在审题时，要抓住题目中的关键量，要勇于尝试、探索，敏于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化．
第二步：引进数学符号，建立数学模型．一般设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题中的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓的建立数学模型．
第三步：利用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果．
第四步：转译成具体问题作出回答．
2．有关logax，xn和ax的研究
一般地，对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，尽管在一定范围内，ax会小于xn，但ax的增长速度快于xn的增长速度，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.同样，对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像渐渐与x轴平行一样．尽管在一定范围内，logax可能会大于xn，但logax的增长速度慢于xn的增长速度，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax综上所述，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)、y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax考点一　一次函数问题
【案例1】　某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份．设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？该销售点一个月最多可赚多少元？
关键提示：每月所赚的钱＝卖报总的收入－付给报社的钱．而总的收入分为3部分：①在可卖出400份的20天里，卖出x份，收入为0.5x×20元；②在可卖出250份的10天里，在x份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为0.5×250×10元；③没有卖掉的(x－250)份报纸可退回报社，报社付出(x－250)×0.08×10元．注意写出函数式的定义域．
解：设每天应从报社买进x份报纸．
由题意知250≤x≤400.
设每月赚y元，得
y＝0.5x×20＋0.5×250×10＋(x－250)×0.08×10－0.35x×30＝0.3x＋1 050，x∈[250,400]．
因为y＝0.3x＋1 050是定义域上的增函数，
所以当x＝400时，ymax＝120＋1 050＝1 170(元)．
答：每天从报社买进400份报纸，所获的利润最大，每月最多可赚1 170元．
【即时巩固1】　某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min后，以120 km/h的速度匀速行驶，且火车在前10 min内共行驶了13 km.试写出火车行驶的路程s km与匀速行驶的时间t h之间的函数关系式，并求火车行驶2 h的路程．
考点二　二次函数问题
【案例2】　某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a万元(a为正常数)，现在决定从中分流出x万人去加强第三产业．分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0关键提示：“保证第二产业的产值不减少”转译为数学语言是一个“二次不等式模型”，“该市第二、三产业的总产值增加最多”转译为数学语言是一个“二次函数的最值问题”．
解：设分流出x万人，为保证第二产业的产值不减少，必须满足(100－x)·a·(1＋2x%)≥100a，
因为a>0，x>0，可解得0设该市第二、三产业的总产值增加f(x)万元．
则f(x)＝(100－x)·a·(1＋2x%)＋1.2ax－100a
＝－0.02a(x2－110x)
＝－0.02a(x－55)2＋60.5a，
因为x∈(0,50]且f(x)在(0,50]上单调递增，
所以当x＝50时，f(x)max＝60a.
因此在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出50万人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多．
解：若按原来的投资方式，由题设知，每年只需从60万元专款中拿出40万元投资，可获最大利润10万元．
这样10年总利润最大值为W＝10×10＝100(万元)．
考点三　分段函数问题
【案例3】　某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元．已知总收益满足函数R(x)
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
关键提示：(1)因为总收益＝总成本＋利润，所以利润＝总收益－总成本．因为R(x)是分段函数，所以f(x)也是分段函数．(2)分别求出f(x)各段中的最大值，通过比较就可以求出f(x)的最大值．
解：(1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，
当x＝300时，有最大值25 000.
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)＜60 000－100×400＜25 000.
综上，当x＝300时，有最大值25 000.
答：月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25 000元．
解：根据题意，商品的价格随着时间t变化，所以应分类讨论，设日销售额为F(t)．
当0≤t＜20，t∈N时，
所以当t＝20时，F(t)max＝161.
综上，当t＝10或t＝11时，日销售额最大，最大值为176.
考点四　指数函数问题
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________________ ________________________________________________．
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时，学生才能回到教室．
【即时巩固4】　设在海拔x m处大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系是y＝Cekx，其中C、k是常量．已知某地某日海平面的大气压为1.01×105 Pa,1 000 m高空的大气压为0.90×105 Pa.求600 m高空的大气压强．(结果保留3个有效数字)
将C＝1.01×105代入0.90×105＝Ce1 000k，得
0．90×105＝1.01×105e1 000k，所以0.9＝1.01e1 000k.
两边取以e为底的对数(自然对数)，得
所以y＝1.01×105×e－1.15×10－4x.
将y＝600代入，得
y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600≈0.943×105.
答：600 m高空的大气压强约为0.943×105 Pa.