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函数的单调性
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 ①若 ,则f(x)在区间D上是 ;
②若 ,则f(x)在区间D上是 .
f(x1)f(x1)>f(x2)
增函数
减函数
考点分析
(2)单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是 或 ,那么就说函数 f (x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性,
叫做f(x)的单调区间.
增函数
减函数
区间D
注: ①函数的单调区间只能是其定义域的子区间;
②函数的单调区间是连续区间, 若区间不连续,
应分段考查.
③在单调区间上, 增函数的图象自左向右看是上升的,
减函数的图象自左向右看是下降的.
函数y＝f(x)的图象如图所示
那么函数f(x)的增区间是(－∞，0]
∪(0，＋∞)吗？
提示：不是，函数f(x)的增区间是
(－∞，0]和(0，＋∞)，不是
(－∞，0]∪(0，＋∞).
注意： 若函数 f(x) 可导,
1.函数 f(x) 的单调递增(或递减)区间是 D:
不等式 f (x)>0(<0) 的解集是区间 D;
2.函数 f(x) 在区间 D 上单调递增(或递减):
不等式 f (x)≥0(≤0) 对于 xD 恒成立.
3.判断函数单调性的方法
(1)定义法:利用定义严格判断.
(2)利用函数的运算性质:如若f(x),g(x)为增函数,则
①f(x)+g(x)为增函数;
② 为减函数(f(x)>0);
③ 为增函数(f(x)≥0);
④f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0,g(x)>0);
⑤-f(x)为减函数.
主要适用于抽象函数或已知函数.
复合函数 f[g(x)] 的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u) 的单调性密切相关, 其规律如下：
（3）复合函数的单调性
(4)图象法.
(5)奇函数在关于原点对称的区间上具有 的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有 的单调性.
相同
相反
同增异减
(6)导数法
①若f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时,f(x)为 函数;当f′(x)<0时,f(x)为 函数;
②若f(x)在某个区间内可导,当f(x)在该区间上递增时,则f′(x) 0;当f(x)在该区间上递减时,则f′(x) 0.
≤
增
减
≥
适用于具体函数.
二、函数的最值
前提
条
件
结论
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
M为最大值
M为最小值
①对于任意x∈I，都有
②存在x0∈I，使得
①对于任意x∈I，都有
②存在x0∈I，使得
f(x) ≤ M
f(x) ≥ M
f(x0)＝M
f(x0)＝M
题型二：利用导数讨论函数单调性
解: ∵函数 f(x) 的定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞),
题型二：利用导数讨论函数单调性
②求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题, 但必须注意, 如果函数的解析式含有参数, 而且参数的取值影响函数的单调区间, 这时必须对参数的取值进行分类讨论.
注: ①这个函数的单调性十分重要, 应用非常广泛, 它的图象如图所示:
题型三：函数的单调性的应用
例题：奇函数f(x)是R上的减函数，对任意实数x恒有 成立，求k的取值范围
答案：
题型三 函数单调性的应用
例：函数f(x)对任意的a,b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
【解析】 (1)证明:设x1,x2∈R,且x1 则x2-x1>0,
∴f(x2-x1)>1.
f(x2)-f(x1)=f［(x2-x1)+x1］-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1>0.
∴f(x2)>f(x1).
即f(x)是R上的增函数.
(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,
∴f(2)=3,
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)∵f(x)是R上的增函数,
∴3m2-m-2<2,
解得-1故解集为 .
【评析】 (1)f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性,则f(x1) (2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1) 的形式或不能将不等式右边3转化为 f(2) , 从而不能应用函数的单调性求解.导致此种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利用题目中的已知条件或者不 能正确地将抽象不等式进行转化.
变式6：函数f(x)对任意的x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 并且当x>0时,f(x)<0, f(1)=-2.
(1)判断函数的单调性；
（2）当x∈[-3,3]时，f(x) 的最值
如果你很有天赋， 勤勉会使天赋更加完善； 如果你的才能平平， 勤勉会补足缺陷。
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如果你的才能平平，
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