第四节　函数的奇偶性与周期性
1．函数的奇偶性
f(－x)＝f(x)
y轴
有f(－x)＝－f(x)
原点
[思考探究]
(1)奇偶函数的定义域有何特点？
(2)是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？
提示：奇偶函数的定义域关于原点对称.
提示：存在.该函数的特点是定义域关于坐标原点对称，
且解析式化简后等于0.
2．奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______．
相同
相反
(2)在公共定义域内，
①两个奇函数的和函数是_______，两个奇函数的积函数是________；
②两个偶函数的和函数、积函数是______；
③一个奇函数，一个偶函数的积函数是
________．
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
（4）若f(x)是偶函数，则f(x)=
奇函数
偶函数
偶函数
奇函数
(2)利用定理，借助函数的图象判定
注意：当问题比较抽象时，不妨作出符合题意的图形，让图形来帮助“说话”
3.函数奇偶性的判定方法
(1)根据定义判定，首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x). 有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1
(3)性质法判定
①在定义域的公共部分内．两奇函数之积(商)为偶函数；两偶函数之积(商)也为偶函数；一奇一偶函数之积(商)为奇函数(注意取商时分母不为零)；
②偶函数在区间(a，b)上递增(减)，则在区间(-b，-a)上递减(增)；奇函数在区间(a，b)与(-b，-a)上的增减性相同.
（4）函数分类：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数
(5)f(x)为偶函数．
3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是 (　　)
6.设偶函数f(x)满足
7.已知
值为

8.
9.函数f(x)＝ －x的图象关于 (　　)
A.y轴对称 B.直线y＝－x对称
C.坐标原点对称 D.直线y＝x对称
解析：f(x)＝ －x是奇函数，所以图象关于原点对称.
答案：C
10.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)
－g(x)＝( )x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是　.
解析：∵f(x)和g(x)分别为奇函数和偶函数，
且f(x)－g(x)＝( )x， ①
∴f(－x)－g(－x)＝( )－x，
即－f(x)－g(x)＝2x，
∴f(x)＋g(x)＝－2x， ②
由①②得
答案：f(1)>g(0)>g(－1)
11.设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围是　　　　.
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|).
∴不等式f(1－m)＜f(m)⇔f(|1－m|)＜f(|m|).
又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数.
答案：
解得
3．函数的周期性
(1)周期的定义
若一个函数f(x)存在常数T(T≠0)，对于定义域内的任意一个自变量x，都有___________成立，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期．
(2)最小正周期
若函数f(x)为周期函数，且存在最小的正数T，则T叫做f(x)的___________，周期函数不一定有最小正周期．
f(x＋T)＝f(x)
最小正周期
【解析】　(1)证明：∵f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，
则f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f(x＋1)－f(x)
＝f(x)－f(x－1)－f(x)＝－f(x－1)．
∴f(x＋3)＝f[(x＋1)＋2]＝－f[(x＋1)－1]＝－f(x)．
∴f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x)．
∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期．
(2)f(2009)＝f(334×6＋5)＝f(5)＝2.
对于这种抽象函数周期问题，在推导过程中应紧紧抓住题目中的已知关系式，若能画出示意图，可利用图形先试探，然后证明．
1.已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内
任意的x，满足f(x＋2)＝ 若当22. f(x)是定义在Ｒ上的函数，且f(x+2)(1-f(x))=1+f(x).
(1)求证：f(x)是周期函数（２）若
试求f(2001),f(2005)的值。
2．(2009年江西高考)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 008)＋f(2 009)的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】　∵f(x)是偶函数，∴f(－2 008)＝f(2 008)．
∵f(x)在x≥0时f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期为2.
∴f(－2 008)＋f(2 009)＝f(2 008)＋f(2 009)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝0＋1＝1，故选C.
【答案】　C
4.(2009年山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
【解析】　由已知，定义在R上的奇函数f(x)图象一定过原点，又f(x)在[0,2]区间上为增函数，所以方程f(x)＝m(m＞0)在[0,2]区间上有且只有一个根，不妨设为x1；∵f(x1)＝－f(－x1)＝－[－f(－x1＋4)]＝f(－x1＋4)，∴－x1＋4∈[2,4]也是一个根，记为x2，∴x2＝－x1＋4⇒x1＋x2＝4.
又∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x)是周期为8的周期函数，∴f(x1－8)＝f(x1)＝m，不妨将此根记为x3，且x3＝x1－8∈[－8，－6]；同理可知x4＝x2－8∈[－6，－4]，∴x1＋x2＋x3＋x4＝x1＋x2＋x1－8＋x2－8＝－8.
【答案】　－8