一、函数与映射的概念
非空数集
非空集合
任意
唯一
任意
唯一确定
f：A→B
f：A→B
函数与映射有哪些异同点？
映射
函数
相
同
点
对于f：A→B，都是A中每一元素都能在B中找到唯一元素与之对应
提示：
映射
函数
A、B可为数集、点集及其他集合
A、B必须为非空数集
作为A到B的映射，A为原象集合，C为象集合(C⊆B)
作为A到B的函数，A为定义域，B不一定为函
数的值域
三要素：对应法则、原
象集合、象集合(C⊆B)
三要素：对应法则、定义域与值域
不
同
点
总之，函数是特殊的映射，当A、B是非空数集时，f：A→B的映射即为A到B的函数.
二、函数的有关概念
1.函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量， A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，
叫做函数的值域.显然，值域是集合B的
子集.
2.函数的三要素： 、 和 .
x的取值范围
函数值的集合
定义域
值域
对应法则
三、相等函数
如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为相等函数.
定义域
对应法则
若两个函数的定义域与值域相同，是否为相
等函数？
提示：不一定.如函数y＝x与y＝x＋1，其 定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再 如y＝sinx与y＝cosx，其定义域都为R，
值域都为[－1,1]，显然不是相等函数.因此
判断两个函数是否相等，关键是看定义域和
对应关系.
五、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域
等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
解析法
列表法
图象法
对应法则
并集
并集
2.设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域
为M，值域为N，则f(x)的图象可以是图中的 (　　)
解析：A中定义域为[－2,0]，C中x＝0时y有两个值，D中值域为[0,1].
答案：B
x
y
x≤1
1
12
x≥2
3
f2
3.f1:y=
f1 与 f2是否表示同一函数？
2.偶次根式函数被开方式 .
3.一次函数、二次函数的定义域均为 .
4. 若函数f(x)的定义域为A，函数g(x)的定义域为B，则y＝f(x)＋g(x)的定义域为____
常见基本初等函数的定义域.
1.分式函数中分母 .
不等于零
大于或等于0
R
A∩B
题型二：求已知函数的定义域
5.y＝ax，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为 .
6.y＝tanx的定义域为 .
7.函数f(x)＝x0的定义域为 .
8.实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有
意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约.
9. 若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f(g(x))定义域由不等式a≤g(x)≤b解出;
10.若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时
的值域。
R
{x|x≠kπ＋ ，k∈Z}
{x|x≠0}
例1：
(1)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x2)的定义域；
(2)已知函数f(2x＋1) 的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域；
(3)已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求f(2x2－2)的定义域．
抽象函数的定义域
【思路点拨】　(1)求函数的定义域就是求自变量x的取值范围，求f(x2)的定义域就是求x的范围，而不是求x2的范围，这里x与x2的地位相同，所满足的条件一样．
(2)由0＜x＜1确定出2x＋1的范围，即为函数f(x)的定义域．
(3)应由－2≤x≤3确定出x＋1的范围，求出函数f(x)的定义域，进而再求f(2x2－2)的定义域，它是(1)与(2)的综合应用．
【自主解答】　(1)∵f(x)的定义域为(0,1)，
∴要使f(x2)有意义，需使0∴函数f(x2)的定义域为{x|－1(2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)，即其中的自变量x的取值范围是0令t＝2x＋1，∴1∴函数f(x)的定义域为{x|1(3)∵f(x＋1)的定义域为{x| －2≤x≤3}，∴－2≤x≤3，
令t＝x＋1，∴－1≤t≤4，
∴f(t)的定义域为{t| －1≤t≤4}，
即f(x)的定义域为{x| －1≤x≤4}，要使f(2x2－2)有意义，需使－1≤2x2－2≤4，
练习：
题型三：分段函数
1：设函数 则使得
的自变量的取值范围是（ ）
函数解析式的求法
1.待定系数法.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，
可用待定系数法.
2.换元法.已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此
时要注意变量的取值范围.
题型四：求函数的解析式
3.解方程组法.已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未
知量外，还出现其他未知量，如f(－x)、f( )等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程
组求出f(x).
4.利用对称性.已知函数在某个区间上的解析式，利用对称性求其他区间上的函数解析式
【注意】　函数的解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要注明函数的定义域，否则往往会导致错解.
练：已知 求 的解析式
答案：
例1：已知f(x) 是 R 上的奇函数, 当 时，求 时 f(x) 的解析式
5.利用对称性
例3、已知函数
与函数
的图象关于点（--2，3）对称，求
的解析式。
(4)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝ f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式
(5)已知f( ＋1)＝x＋2 ，求 f(x)的解析式.
（6）已知 f(x) 是 R 上的偶函数, 且 f(x+4)=f(-x),
当 x∈(-2, 2)时, f(x)=-x2+1, 求当 x∈(-6, -2) 时
f(x) 的解析式.
(4)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0知c＝0，f(x)＝ax2＋bx.
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
故有
因此，f(x)＝
(5)法一：设t＝ ＋1，则x＝(t－1)2(t≥1).
代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1).
法二:
即f(x)=x2-1(x ≥1).
（6）： f(x)=-x2-8x-15 ,x∈(-6, -2)
题型五：函数值域的求法
题型四：利用图像求函数值域
题型五：利用导数求函数值域
例题：已知函数
.
(Ⅰ）求
的最小值；
(Ⅱ）若对所有 都有
，求实数
的取值范围.
(Ⅰ）解： 的定义域为 ，
的导数
令 ，解得 ；令 ，解得
从而 在 单调递减，在 单调递增.
所以，当 时，取得最小值 .
(Ⅱ）依题意，得 在 上恒成立，
即不等式 对于 恒成立.
令 ，
则 .
当 时，因为 ，
故 是 上的增函数，所以 的最小值是 ，
从而 的取值范围是 .