2．对于给定区间上的函数f(x)及属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，如果都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在_________上是增函数，这个区间就叫做这个函数的_________区间；如果都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在_________上是___函数，这个区间就叫做这个函数的_____ ____区间．反映在图象上，若函数f(x)是区间D上的增(减)函数，则图象在D上的部分从左到右是上升(下降)的．
给定区间
单调递增
给定区间
减
单调
递减
3．设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对∀x∈I，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么M是函数y＝f(x)的__________．
最大(小)值
1．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 (　　)
A．y＝－x3，x∈R　　　　　B．y＝x2，x∈R
解析：作出图象可知．
答案：A
2．下列函数在(0,2)上为增函数的是 (　　)
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
解析：作图如下．
由图可知y＝x2＋1在(0,2)上为增函数．
答案　B
解析：作图可知．
答案：(－∞，－1)，(－1，＋∞)
4．函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值为________，最小值为________．
答案：4　－4
1．判断函数单调性的常用方法
(1)定义法．
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数，一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数．
(3)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．
(4)如果f(x)在区间D上是增(减)函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增(减)函数．
(5)如果y＝f(u)和u＝g(x)单调性相同，那么y＝f(g(x))是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)单调性相反，那么y＝f(g(x))是减函数．
在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性，因此掌握并熟记一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程．
2．函数最值的求法
(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法．
3．求最值时注意的问题
(1)求函数最值的方法，实质与求函数值域的方法类似，只是答题方式有差异．
(2)无论何种方法求最值，都要考虑“＝”能否成立．
考点一　用定义证明函数的单调性
(1)证明：设0＜x1＜x2，则x1－x2＜0，x1x2＞0.
所以f(x1)＜f(x2)，
即f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
关键提示：通过研究f(x)与g(x)的图象进行求解．
解析：f(x)＝－x2＋2ax的对称轴为x＝a，
所以a≤1.

所以a＞0，即a∈(0，＋∞)，
所以a∈(0,1]，所以选D.
答案：D
考点二　函数单调性的应用
【即时巩固2】　若函数f(x)＝x2＋(a2－4a＋1)x＋2在区间(－∞，1]上是减函数，则a的取值范围是 (　　)
A．[－3，－1]　　　 B．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)
C．[1,3] D．(－∞，1]∪[3，＋∞)
答案：C
考点三　函数的值域和最值
【案例3】　某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房．由于地理位置的限制，房屋侧面的长度x不得超过a m．房屋正面的造价为每平方米400元，房屋侧面的造价为每平方米150元，屋顶和地面的造价共5 800元．已知墙高3 m，且不计房屋背面的费用．
(1)把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域；
(2)当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？
关键提示：先建立函数关系，再利用函数的单调性求最值．
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
(1)证明：对∀x1、x2∈R，令x2>x1，
则f(x2)－f(x1)＝f(x1＋(x2－x1))－f(x1)
＝[f(x1)＋f(x2－x1)]－f(x1)
＝f(x2－x1)，
因为x2>x1，所以x2－x1>0，所以f(x2－x1)<0，
所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)所以f(x)在R上是减函数．
(2)解：因为f(x)在R上是减函数，易证f(x)在R上是奇函数，所以ymin＝f(3)＝3f(1)＝－2，ymax＝－f(3)＝2.