数学必修⑤《数列》
总结复习
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位，是高考数学的主要考察内容之一，试题难度分布幅度大，既有容易的基本题和难度适中的小综合题，也有综合性较强对能力要求较高的难题。大多数是一道填空题，一道解答题。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题经常是综合题，把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。应用问题有时也要用到数列的知识。
试题特点
一、知识回顾
仍成等差
仍成等比
等 差 数 列
等 比 数 列
定 义
通 项
通项推广
中 项
性 质
求和公式
适用所有数列
Ⅰ 、等差、等比数列的设法及应用
1.三个数成等差数列可设为
或者 ，
2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为 ，也可以设为
例1(1). 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.
∴所求三个数分别为3，5，7
解得x＝5，d＝
或7，5，3.
±2.
二、知识应用
根据具体问题的不同特点而选择不同设法。
与已知三数不等矛盾
Ⅱ 、运用等差、等比数列的性质
例2（1）已知等差数列 满足 ，则 ( )
（3）已知在等差数列{an}的前n项中，前四项之和为21，后四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n.
析：
C
（2）已知等差数列 前 项和为30，前 项和为100，则前 项和为 ( )
C
考题剖析
(2008重庆文)已知{an}为等差数列， a2+a8=12，,则a5等于（ 　 ）
(A)4 　 (B)5 (C)6 (D)7
解：由已知，由等差数列的性质，有a2+a8=2a5，
所以，a5＝6，选（C）。
［点评］本题直接利用等差数列的性质，由等差中项
可得，属容易题。
例3.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?
分析:
如果等差数列｛an｝由负数递增到正数，或者由正数递减到负数，那么前n项和Sn有如下性质：
１．当a1＜0,d＞0时,
２．当a1＞0,d＜0时,
思路1：寻求通项
∴n取10或11时Sn取最小值
易知
Ⅲ、等差数列的最值问题
例３.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?
分析:
等差数列｛an｝的通项an是关于n的一次式,前项和Sn是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法.
思路2：从函数的角度来分析数列问题.
设等差数列｛an｝的公差为d,则由题意得:
∵a1<0, ∴ d>0,
∵d>0, ∴Sn有最小值.
又∵n∈N*, ∴n=10或n=11时,Sn取最小值
例3.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项和最小?
分析:数列的图象是一群孤立的点,数列前 n项和Sn 的图象也是一群孤立的点.此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤立的点.求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n.
因为S9=S12,
又S1=a1<0,
所以Sn 的图象所在的抛物线的
对称轴为直线n=(9+12) ÷2=10.5,
所以Sn有最小值
∴数列｛an｝的前10项或前11项和最小
n
Sn
o
n=
10.5
类比:二次函数f(x),若 f(9)=f(12),则函数f(x)图象的对称轴为
直线x=(9+12) ÷2=10.5
若f(x+2)=f(2-x),则函数f(x)图象的对称轴为
直线x=2
思路3：函数图像、数形结合
故开口向上
过原点抛物线
解析：
通项特征：
由等差数列通项与等比数列通项相乘而得
求和方法：
错位相减法——错项法
Ⅳ 、等差、等比数列的综合应用
解析：
两式相减：
错位相减法
1.观察数列:30,37,32,35,34,33,36,（ ）,38的特点,在括号内适当的一个数是______
2.在等差数列中,a4+a6=3,则a5(a3+2a5+a7)=_____
3. 在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则
2a10-a12的值为 （ ）
A.20 B.22 C.24 D.28
31
9
C
4.若｛an}是等比数列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那
么a3+a5的值等于 （ ）
A.5 B.1 C.15 D.10
A
三、基础练习
5.等差数列{an}中,已知前4项和是1,前8项和是4,则
a17+a18+a19+a20的值等于 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
C

6.首项为-24的等差数列从第10项开始为正数,求公差为d的取值范围
7.在数列{an}中,a1=3,an+1=an+3n(n≥1),求此数列的通项公式
三、基础练习
考题剖析
例5、（2008北京）数列{an}满足
（Ⅰ）当a2=-1时，求λ及a3的值；
（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
解：（Ⅰ）由于　　　　　　　　　　且a1=1，
所以当a2=-1时，得,　　　　　 故
从而
　（Ⅱ）数列{an}不可能为等差数列.证明如下：
由a1=1，　　　　　　　得
若存在λ ，使｛an｝为等差数列，则a3-a2=a2-a1,即
解得λ =3.
于是
这与｛an｝为等差数列矛盾，所以，对任意λ ，{an}都不可能是等差数列.
［点评］证明一个数列是等差数列，须证明这个数列的第n项与第n－1项的差是常数。