第一章 集合、常用逻辑
用语、算法初步
1．了解集合的含义，元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
8．理解命题的概念．
9．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
10．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
11．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．
12．理解全称量词与存在量词的意义．
13．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
14．了解算法的含义，了解算法的思想．
15．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环．
16．理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．
1．集合
有限集：____________________.
无限集：____________________.
(1)集合的分类
含有有限个元素的集合
含有无限个元素的集合
(2)集合元素的特性：____性，____性，____性．
(3)集合的表示：
①列举法——把集合中的元素一一列举出来，写在 ______内表示集合的方法．
②描述法——把集合中元素的_________描述出来，写在______内表示集合的方法．
(4)常见数集的表示：自然数集__，正整数集_______，整数集__，有理数集__，实数集__.
确定
互异
无序
{　　}
公共属性
{　　}
N
N*或N＋
Z
Q
R
2．集合间的基本关系
(1)子集、真子集、相等、空集
设集合A与B，如果集合__________________都是__________ _____，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．
如果A是B的子集，并且B中_______________不属于A，那么集合A叫做集合B的_______，记作AB(或BA)．如果A⊆B，且B⊆A，此时集合A与集合B中的元素都相同，那么集合A与集合
B相等，记作A＝B.不含________的集合称为空集，记作__.
(2)由所有属于集合A__属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|_____________.
A中的任意一个元素
集合B中的
元素
至少有一个元素
真子集
任何元素
∅
且
x∈A且x∈B}
(4)在研究某一集合问题的过程中，所有集合都是一个给定集合的子集，这个给定的集合就称为全集，记为U.如图，设A⊆U，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在集合U中的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|___________．
x∈U且x∉A
(3)由所有属于集合A__属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|____________．
或
x∈A或x∈B}
3.子集、真子集
(1)A⊆A指任何一个集合都是______的子集．
(2)∅⊆A指____是任何集合的____(规定)．
(3)只有当A为非空集合时，才有∅___A，即空集是_______ _______的真子集．
(4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若AB，BC，则A___ C；若A⊆B，A⊇B，则A＝B.
它本身
空集
子集


空集合
任何非
4.交集
A∩A＝__；A∩B＝_____(交换律)；A∩∅＝___；A∩B___A；
A∩B___B；若A___B，则A∩B＝___.
5.并集
A∪A＝__；A∪B＝_____(交换律)；A∪∅＝__；A__A∪B；
B__A∪B；若A___B，则A∪B＝__.
6.补集
①A∪(∁UA)＝__；A∩(∁UA)＝__；
∁U(∁UA)＝ __；∁U∅＝__；∁UU＝__.
②∁U(A∩B)＝_________，∁U(A∪B)＝_________.
A
B∩A
∅
⊆
⊆
A
A
B∪A
A
⊆
⊆
B
U
U
∅
∅
∁UA∪∁UB
∁UA∩∁UB
A
⊆
⊆
1．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则 (　　)
A．M⊆N　　　　　　B．N⊆M
C．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝{1,4}
解析：由M中的元素1∉N，所以A错．又由N中的元素4∉M，所以B错．又M∩N＝{2,3}，M∪N＝{1,2,3,4}，所以选C.
答案：C
2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁UB)等于 (　　)
A．{x|0≤x≤1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
解析：因为B＝{x|x＞1}，所以∁UB＝{x|x≤1}，
所以A∩∁UB＝{x|0＜x≤1}．
答案：B
3．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是 (　　)
解析：因为N＝{－1,0}，所以NM.
答案：B
4．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝ (　　)
A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1} D．∅
解析：由题意得A＝[－1,1]，B＝[0，＋∞)，所以A∩B＝{x|0≤x≤1}．
答案：C
1．集合中元素的性质在解题中的应用
集合的元素具有三个特性：其确定性可用来判断对象的全体能否构成集合，或每个对象是否属于该集合；无序性表示两个集合只要元素相同则为同一个集合；而互异性则在集合元素中含有字母需要求解时有着取舍的作用．
例如：已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．
解：若x2＝0，则x＝0，集合为{1,0,0}，不符合题意．
若x2＝1，则x＝±1，而x＝1时不符合题意．
若x2＝x，则x＝0或x＝1都不符合题意．
综上，x＝－1.
2．子集的概念与性质在解题中的应用
(1)A⊆B包含两层含义，A＝B或A是B的真子集．
(2)∅是任何集合的子集．
(3)对于不等式表示的集合，可运用数轴表示子集关系．
(即时巩固详解为教师用书独有)
考点一　集合的基本运算
答案：－1
A．1　　　B．－1　　　C．2　　　D．－2
答案：C
【案例2】　若A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|ax－6＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合．
关键提示：由A∪B＝A有B⊆A，分B＝∅与B≠∅两种情况
解：A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}．
因为A∪B＝A，所以B⊆A，
所以有B＝∅，B＝{2}，B＝{3}三种情况．
当a＝0时，B＝∅；
当B＝{3}时，有3a－6＝0，解得a＝2；
当B＝{2}时，有2a－6＝0，解得a＝3，
所以a∈{0,2,3}．
考点二　集合间的基本关系与基本运算
【即时巩固2】　已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝
(　　)
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
解析：A＝(A∩B)∪((∁UB)∩A)＝{3}∪{9}＝{3,9}．(本题也可运用Venn图)
答案：D
【案例3】　已知集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
关键提示：求解不等式，利用数轴帮助分析与运算．
解：由题意可得：A＝{x|a－1≤x≤1＋a}，B＝{x|x≥4或x≤1}，
考点三　集合与不等式
【即时巩固3】　已知集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x≤m}，且A∩B＝A，求实数m的取值范围．
解：由A∩B＝A，可得A⊆B.
在数轴上表示集合A与集合B，如图所示：由图可知，m≥4.
【案例4】对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有
考点四　集合与其他知识的交汇
xy∈S”，则
A．1 B．－1
C．0 D．i
关键提示：由题设与集合中的元素的互异性，可得a、b及c2的值，再借助“分类讨论”求出不同情况下的c、d的取值，进而求出b＋c＋d.
综上所述，b＋c＋d＝－1.
答案：B
【即时巩固4】　定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为 (　　)
A．0　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．6
解析：A*B中元素为0,2,4，其和为6.
答案：D