专题七
曲线的性质和轨迹问题
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1.掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义反映的几何性质；  2.求曲线的方程的常见方法： ① 待定系数法，即先确定方程的形式，再确定方程的系数； ② 定义法，即根据已知条件，建立坐标系、列出x和y的等量关系、化简关系; ③ 代入法; ④ 参数法.
【课前导引】
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1. 已知F1、F2是双曲线
的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )
[解析] 设的中点为P，依题意，
[解析] 设的中点为P，依题意，
[答案] D
2. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数， ，则动点P的轨迹为 双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，
O为坐标原点，若
则动点P的轨迹为椭圆；
③方程 的两根可分别作 为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
相同的焦点.
其中真命题的序号为_________（写出所有真命题的序号）
[解析] ① 的轨迹可能是双曲线的一支，也可能是一条射线，也可能无轨迹；② 的轨迹是圆；计算知③④正确。
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[例1]
(1)设椭圆的离心率为，证明
(2)证明：
(3)设 求椭圆的方程.
[解析]
( 另：由ab=c2知：
(2) 由(1)有
故所求椭圆的方程为
故所求椭圆的方程为
[说明] 本题采用了待定系数法求轨迹方程.
[例2] 在ABC中, 已知B(-3,0), C(3,0),  的垂心H分有向线段 所成的比为
(1) 分别求出点A和点H的轨迹方程;
[解答] 设H点的坐标为(x,y),对应的A的坐标为(x1, y1), 则D的坐标为(x1, 0), 由H分有向线段
此即点H的轨迹方程.
(2)由(1)可知, P, Q分别为椭圆的左右焦
点, 设H(x, y), 且
数列, 则
[说明] 本题采用了代入法求轨迹方程.
[例3] 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
(1)求△APB的重心G的轨迹方程.
(2)证明∠PFA=∠PFB.
[解答] (1)设切点A、B坐标分别为
所以△APB的重心G的坐标为
由于P点在抛物线外，
∴∠AFP=∠PFB.
方法2：
所以d1=d2，即得∠AFP =∠PFB.
所以P点到直线AF的距离为：
同理可得到P点到直线BF的距离
因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.
同理可得到P点到直线BF的距离
因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.
[说明] 本题采用了代入法求轨迹方程.
[例4] 如右图, 已知⊙A: (x+2)2+y2 =
⊙B: (x2)2+y2 = , 动圆P与⊙A、⊙B都相外切.
(1)动圆圆心P的轨迹方程；
(2)若直线y=kx+1与(1)中的曲线有两个不同的交点P1、P2，求k的取值范围.
[解答] (1)依题意，PAPB=
故P的轨迹是双曲线的右支，a=1，c=2，

其方程为：
(2)联立方程组
在[1, +)有两不同的解，
[例5] A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB，
1. 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；
2. 求证：直线AB过定点；
3. 求弦AB中点P的轨迹方程；
4. 求△AOB面积的最小值；
5. 求O在AB上的射影M轨迹方程.
[解答] (1)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，中点P(x0, y0)，
∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1，∴ x1x2+y1y2=0
∵ y12 = 2px1，y22 = 2px2
∵ y1≠0, y2≠0, ∴ y1y2=4p2 ∴ x1x2=4p2.
(2)∵ y12=2px1，y22=2px2
∴ (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2)
∴ AB过定点(2p, 0)，设M(2p, 0).
(3)设OA∶y = kx，代入y2=2px 得: x=0，
同理， 以代k得B(2pk2, -2pk) .
即 y02 = px0-2p2，
∴ 中点M轨迹方程 y2 = px-2p2
(4)
当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.
(5)法一：设H(x3, y3), 则
由(1)知，y1y2=-4p2，
整理得：x32+y32 -2px3=0，
∴ 点H轨迹方程为x2+y2-4x=0(去掉(0, 0)).
∴ H在以OM为直径的圆上
∴ 点H轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉(0, 0).
评注：此类问题要充分利用(1)的结论.
法二：∵ ∠OHM=90, 又由(2)知OM为定线段
专题七 曲线的性质和轨迹问题
第二课时
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1. 在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用；  2. 注意向量与解析几何的密切联系.由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，大量的轨迹问题都是以向量作为背景编拟的 ； 3.注意利用曲线系解题.
【课前导引】
1. 已知反比例函数 的图像是等轴双曲线，则其焦点坐标是 ( )
【课前导引】
A.
B.
C.
D.
[解答] 双曲线的实轴为直线 x-y = 0, 故两个顶点坐标为 , 且
[解答] 双曲线的实轴为直线 x-y = 0, 故两个顶点坐标为 , 且
[答案] A
2. 已知圆x2+y2=1，点A(1，0)，△ABC内接于此圆，∠BAC=60o，当BC在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是( )
A. x2+y2 =
B. x2+y2 =
C. x2+y2 =
D. x2+y2 =
[解析] 记O为原点，依题意，
且OB=OC=1, 故原点到直线BC的距离为
由图像可知，BC中点的横坐标小于故选D.
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[例1] 若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3, 2)，求实数m的取值范围.
[解答] 直线mx+y+2=0过一定点C(0, -2), 直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在∠ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足k≥k1或k≤k2， ∵A(-2, 3) B(3, 2)
[说明] 此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率m应为倾角的正切，而当倾角在(0, 90)或(90, 180)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围.
[例2] 根据下列条件，求双曲线方程.
[解答] 方法一：
(1)
解之得：
则
， 解之得：
方法二：(1)设双曲线方程为
(3)设双曲线方程为
， 解之得：k=4
∴ 双曲线方程为
比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想.
[例3] 已知直线l与椭圆
有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.
[例3] 已知直线l与椭圆
有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.
[解答] 由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为
代入椭圆方程 得
化简后，得关于的一元二次方程
于是其判别式
由已知，得△=0．即 ①
在直线方程y=kx+m中，分别令y=0，x=0，
求得
令顶点P的坐标为(x，y)，由已知，得
代入①式并整理，得
即为所求顶点P的轨迹方程.
[说明] 方程 形似椭圆的标准方程，但图像当然不是椭圆，你能知道它有什么几何性质？
[例4]
[解]
……（1）
……（2）
[说明] 向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体. 求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系. 体现了向量的工具性.