第七节 数学归纳法
1.数学归纳法
数学归纳法是用来证明某些与________有关的数学命题的一
种方法.它的基本步骤是:
(1)验证:________________(如n0=1或2等)时,命题成立;
(2)在假设当_________________时命题成立的前提下,推出当
______时,命题成立.
根据(1)(2)可以断定命题对______________________都成立.
正整数n
当n取第一个值n0
n=k(k∈N+,k≥n0)
n=k+1
一切从n0开始的正整数n
2.数学归纳法的框图表示
n=k+1时命题也成立
正整数n
所有的
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成
立.(　　)
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证
明.(　　)
(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.(　　)
(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(　　)
(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.(　　)
【解析】(1)错误.用数学归纳法证明时,第一步是验证当n取第一个可取值时结论成立,第一个可取值不一定是1.
(2)错误.例如,证明等式
时,也可直接运用等比数列的求和公式证明.
(3)错误.用数学归纳法证明问题时,归纳假设必须用上,否则就不是用数学归纳法证明.
(4)错误.用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时项数不一定
都增加了一项.
(5)正确.当n=1时左边式子一共有4项,为1+2+22+23.
答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
1.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥4,n∈N+)第一步应验证n等
于(　　)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】选D.由n≥4,n∈N+可知,应验证n=4时不等式成立.
2.若 则f(1)为( )
【解析】选D.
3．用数学归纳法证明： (n∈N+且n>1)
时，在第二步证明从 n＝k 到 n＝k＋1 成立时，左边增加
的项数是( )
(A)2k (B)2k-1 (C)2k-1 (D)2k+1
【解析】选A.增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k，故选A.
4．用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)…(n+n)
=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N+)，由n=k到n=k+1时，
等式左边的变化是( )
(A)多乘了(2k+1)
(B)多乘了2(2k+1)
(C)多乘了(2k+1)(2k+2)
(D)多乘了2(k+1)(n∈N+)
【解析】选B.当n=k时，左边
=(k+1)(k+2)…(k+k),
当n=k+1时，左边
=［(k+1)+1］[(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)]
=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)
=(k+1)(k+2)…(k+k)·
=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1),
所以多乘了2(2k+1).
5．在数列{an}中，a1＝ 且Sn=n(2n-1)an，通过求a2，a3，
a4，猜想an的表达式，其结果是.
【解析】由 且Sn=n(2n-1)an得，
而

可得
答案：
考向 1 用数学归纳法证明等式
【典例1】(2013·延安模拟)用数学归纳法证明

【思路点拨】利用数学归纳法的基本步骤进行证明.
【规范解答】(1)当n=1时，左边=12=1,
右边 等式成立.
(2)假设当n=k时，等式成立，即12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2

当n=k+1时，

∴当n=k+1时，等式成立,
∴当n∈N+时，等式成立.
【拓展提升】用数学归纳法证明等式的注意点
(1)明确等式两边项的构成规律，弄清由n=k到n=k+1时左边的项是如何变化的，由此明确变形的目标.
(2)注意合理利用恒等变形的常用方法.例如,因式分解、添拆项、配方等.
【变式训练】是否存在常数a，b，c，使等式1·22＋2·32＋
…＋n(n＋1)2＝ 对一切正整数n都成立？
证明你的结论．
【解析】把n＝1，2，3代入等式得方程组

解得

猜想：等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝
对一切n∈N+都成立．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，由上面可知等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1,k∈N+)时等式成立，
即
则当n＝k+1时，
1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2
＝ (3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2
＝ (3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2
＝ [k(3k＋5)＋12(k＋2)]
= [3(k+1)2+11(k+1)+10],
∴当 n＝k＋1 时，等式也成立．
综合(1)(2)，对n∈N+等式都成立．
考向 2 用数学归纳法证明不等式
【典例2】由下列不等式：

你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明.
【思路点拨】观察所给出的不等式，其左边是若干个分式相
加，分子都是1，分母由1开始，每一项比前一项大1，最后一
项是2n-1，因此左边的式子为 不等式的右
边是一个分数，依次为 由此可得到一般的不等
式.证明可采用数学归纳法.
【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，
即一般不等式为

用数学归纳法证明如下：
(1)当n=1时， 猜想成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时，猜想成立，
即
则当n=k+1时，

即当n=k+1时，
猜想也成立，所以对任意的n∈N+，不等式都成立.
【拓展提升】用数学归纳法证明不等式的注意问题
(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.
【提醒】在证明由k到k+1时一定要分清左右两边变化了哪些项.
【变式训练】求证：
【证明】(1)当n＝2时，左边 不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N+)时命题成立，
即
则当n＝k＋1时，
∴当n＝k＋1时不等式亦成立．
∴原不等式对一切n≥2，n∈N+均成立．
考向 3 归纳、猜想、证明
【典例3】在数列{an}中，a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n
(n∈N+,λ>0).
(1)求a2，a3，a4.
(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明.
【思路点拨】利用递推公式将n=1,2,3代入即可求得a2，a3，
a4，然后再用数学归纳法证明猜想成立.
【规范解答】(1)a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)2＝λ2＋22，
a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，
a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.
(2)由(1)可猜想数列通项公式为：
an=(n-1)λn+2n.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝2，等式成立．
②假设当n＝k(k≥1,k∈N+)时等式成立，即ak=(k-1)λk+2k，
那么当n=k+1时，
ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k
=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k
=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,
即当n＝k＋1时等式也成立，根据①和②可知，等式对任何n∈N+都成立．
【拓展提升】解“归纳—猜想—证明”题的关键环节
(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.
(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论.
(3)对一般结论用数学归纳法进行证明.
【变式训练】数列{an}中， 且
求a3,a4,猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.
【解析】因为 且

所以 同理可求得

归纳猜想
下面用数学归纳法证明猜想正确.
(1)当n=1时，易知猜想正确.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时，猜想正确，即
那么当n=k+1时，
即当n=k+1时，猜想也正确.
由(1)(2)可知，猜想对任意正整数都正确.
考向 4 用数学归纳法证明整除问题
【典例4】用数学归纳法证明：(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
【思路点拨】在第二步证明中，注意利用归纳假设，对n=k+1时的式子进行合理变形.
【规范解答】(1)当n=1时，(3×1+1)×7-1=27能被9整除，
命题成立；
(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时命题成立，
即(3k+1)·7k-1能被9整除，
则当n=k+1时，
[3(k+1)+1]·7k+1-1
=(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1
=(3k+1)·7k-1+6(3k+1)·7k+3·7k+1
=(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k.
由于(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除，
所以(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k能被9整除，
即当n=k+1时，命题也成立，
故(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
【拓展提升】证明整除问题的关键——“凑项”
证明整除问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，将n=k+1时的式子凑出n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证.
【变式训练】用数学归纳法证明 能被13整除，
其中n为正整数.
【证明】(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时，42k+1+3k+2能被13整除，
则当n=k+1时，
方法一：42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3
=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2).
∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除,
∴42(k+1)+1+3k+3能被13整除.
方法二：［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)
=(42k+1·42+3k+2·3)-3(42k+1+3k+2)=42k+1·13,
∵42k+1·13能被13整除，
∴［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)能被13整除，
即42(k+1)+1+3k+3能被13整除,
∴当n=k+1时，命题也成立,
由(1)(2)知，对任意n∈N+，42n+1+3n+2都能被13整除.
【易错误区】未运用归纳假设致误
【典例】用数学归纳法证明：
【误区警示】本题错误在于证明当n=k+1等式也成立这一步
骤时，没有运用归纳假设，而是直接利用等比数列的前n项
和公式求得 这是错误的.
【规范解答】①当n=1时，左边= 右边
等式成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时，等式成立，
即
则当n=k+1时，
即当n=k+1时，等式也成立.
由①②知，等式对n∈N+成立.
【思考点评】必须运用归纳假设
在运用数学归纳法证明问题时，两个步骤缺一不可，尤其是在证明第二步时，一定要运用归纳假设，即运用当n=k时得到的结论，去证明当n=k+1时命题的正确性，否则，若没有运用归纳假设，就不是利用数学归纳法证明问题，是错误的.
1.(2013·西安模拟)用数学归纳法证明3n＞n3(n≥3,n∈N)
第一步应验证( )
(A)n=1 (B)n=2
(C)n=3 (D)n=4
【解析】选C.∵n≥3，故应验证n=3.
2.(2013·九江模拟)用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N+)能被8整除时，当n=k+1时，对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为( )
(A)56·34k+1+25(34k+1+52k+1)
(B)34·34k+1+52·52k
(C)34k+1+52k+1
(D)25(34k+1+52k+1)
【解析】选A.∵当n=k时，34k+1+52k+1能被8整除，
那么当n=k+1时，34k+5+52k+3=52(34k+1+52k+1)-52·34k+1+34k+5
=(34-52)·34k+1+52(34k+1+52k+1)
=56·34k+1+25(34k+1+52k+1),故选A.
3.(2013·蚌埠模拟)利用数学归纳法证明
“ (a≠1，n∈N)”时，
在验证n=1成立时，左边应该是( )
(A)1 (B)1+a
(C)1+a+a2 (D)1+a+a2+a3
【解析】选C.在验证n=1时，左边应是1+a+a2.
4.(2013·上饶模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，
其中 且
(1)求a2,a3.
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.
【解析】(1)∵ 且
∴Sn=n(2n-1)an.
当n=2时，a1+a2=S2=2×3a2，

当n=3时，a1+a2+a3=S3=3×5a3,
∴
(2)猜想
(i)当n=1时， 成立,
(ii)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时， 成立,
那么当n=k+1时，Sk+1=(k+1)［2(k+1)-1］ak+1,
Sk=k(2k-1)ak,
∴ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1-k(2k-1)ak，
∴(2k2+3k)ak+1=k(2k-1)·
∴
由(i)(ii)知n∈N+时，
1.已知f(n)=12+22+32+…+(2n)2，则f(k+1)与f(k)的关系
是( )
(A)f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2
(B)f(k+1)=f(k)+(k+1)2
(C)f(k+1)=f(k)+(2k+2)2
(D)f(k+1)=f(k)+(2k+1)2
【解析】选A.由已知可得
f(k)=12+22+32+…+(2k)2,
f(k+1)=12+22+32+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，于是f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.
2.若不等式 对一切正整数n
都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论.
【解析】取n=1，则有 成立，
所以 因此a<26，取a=25，即正整数a的最大值等于25.
以下用数学归纳法证明：
对一切正整数n都成立.
①当n=1时，已证结论成立；
②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时结论成立，
即
则当n=k+1时，
由于

所以
于是
即当n=k+1时，结论也成立，
由①②知对一切正整数n,都有
故正整数a的最大值等于25.