第六章 不等式、推理与证明
第一节 不等关系与不等式
1.两个实数比较大小的法则
a-b>0
a-b<0
2.不等式的基本性质
b
a>c
a+c>b+c
ac>bc
ac
a+c>b+d
ac>bd
an>bn
3.不等式的其他性质
（1）不等式的倒数性质
①a＞b,ab＞0⇒ ___
②a＜0＜b⇒ ___
③a＞b＞0,0＜c＜d⇒ ___
④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒ ___ ___
＜
＜
＞
＜
＜
(2)有关分数的性质
若a＞b＞0,m＞0,则
①真分数的性质：
___ ___ (b-m＞0).
②假分数的性质：
___ ___ (b-m＞0).
＜
＞
＞
＜
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然成立.( )
（2）同向不等式具有可加性和可乘性.( )
（3）若两个数的比值大于1，那么分子就大于分母.( )
（4）一个数越大，它的倒数不一定越小.( )
【解析】（1）错误.在一个不等式的两边同乘以一个正数时，
不等式仍然成立，同乘以一个负数时不等号改变方向.
（2）错误.同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性.
（3）错误.只有当分子和分母都是正数时，这个结论才成立.
（4）正确.例如，2<3时，有 但-2<2时，却有
答案：（1）× （2）× （3）× （4）√
1.若a<0，-1
(A)a
(C)a
【解析】选A.因为-1
2.若a>1>b，下列不等式中不一定成立的是( )
(A)a-b>1-b (B)a-1>b-1
(C)a-1>1-b (D)1-a>b-a
【解析】选C.由a>1知a-b>1-b,故A正确；由a>b知a-1>b-1,故B正确;由1>b知1-a>b-a,故D正确，C项错误，如当a=3，b=-3时，不成立.
3.x+y<2m的一个充分不必要条件是( )
(A)x
(C)x
m (D)xm
【解析】选B.由不等式的性质知，当x与 的大小关系是_______.
【解析】
答案：
5.已知-2【解析】因为-2又因为1答案：(0,2) (5,13)
考向 1 用不等式（组）表示不等关系
【典例1】某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式.
【思路点拨】首先引进变量，然后根据题目所述的条件逐一用变量和不等式表示，再组成不等式组即可.
【规范解答】设甲、乙两种产品的产量分别为x,y,则由题意可
知
【拓展提升】
1.不等关系的含义
(1)不等关系可以表示常量与常量之间的不等关系，如2>-4.
(2)不等关系也可以表示变量与常量之间的不等关系，如2a≤5.
(3)不等关系还可以表示函数与函数之间的不等关系，如f(x)2.文字语言与符号语言的转化
将实际问题中的不等关系写成相应的不等式（组）时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换，常见的转换关系如下表：
【提醒】在不等式的应用题中，用不等式表示不等关系时，不
可忽略变量自身的限制条件.
【变式训练】将一个三边长度分别为5，12，13的三角形的各
边都缩短x，构成一个钝角三角形，试用不等式（组）表示x应
满足的不等关系.
【解析】各边都缩短x后，长度仍然为正数，只要最短边大于
零即可，因此5-x>0.而要构成三角形，还要满足(5-x)+(12-x)
>13-x.当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只
需最长边对的角是钝角即可，因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2，
故x应满足的不等关系如下：
考向 2 比较大小
【典例2】（1）（2013·渭南模拟）设
则有( )
（A）m＞n （B）m=n
（C）m＜n （D）m,n的大小不定
（2）已知θ∈ 且a=cos 2θ,b=cos θ-sin θ，试比
较a与b的大小.
【思路点拨】(1)运用作差法进行比较，由于m和n都带有根号需作它们的平方差.
(2)由于作差法不易比较，且a与b均为正数，可用作商法比较.
【规范解答】（1）选C.∵m＞0,n＞0,
∴m2-n2=
∵a(a+5)-(a+2)(a+3)=-6＜0,
∴m2-n2＜0，
∴m＜n.
(2)由于θ∈ 所以2θ∈
故a=cos 2θ>0，且cos θ>sin θ，所以b>0.
而
=cos θ+sin θ=
由于θ∈ 所以
故
即 >1，故必有a>b.
【互动探究】本例题(2)中，若将θ的取值范围改为：θ∈(
)，那么a与b大小关系如何？
【解析】由于θ∈( )，所以2θ∈( ,π)，
故a=cos 2θ<0，且cos θ而
由于θ∈( )，所以
故sin(θ+ )∈( ,1)，
即 >1，故必有a【拓展提升】
1.作差法比较大小的方法步骤
（1）作差：有的可直接作差，有的需转化才可作差；
（2）变形：目的是判断差的符号，通常进行通分、因式分解、配方、分子（分母）有理化等变形，有时还要根据字母取值范围进行讨论以判断差的符号；
（3）定号：若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a（4）得结论.
2.作商法比较大小的注意事项
利用作商法比较大小要注意分清所研究变量的正负，然后根
据：若 b>0,则a>b；若 b<0,则a【变式备选】设x>5，
则P与Q的大小关系是___________.
【解析】
所以必有P>Q.
答案：P>Q
考向 3 不等式的性质及其应用
【典例3】(1)（2013·合肥模拟）已知a,b,c,d为实数，且c>d，则“a>b”是“a-c>b-d”的( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（2）（2012·湖南高考）设a>b>1,c<0，给出下列三个结论：
②ac＜bc；③logb(a-c)>loga(b-c)，其中所有的正
确结论的序号是( )
(A)① (B)①②
(C)②③ (D)①②③
(3)已知-3<2x-1<1，则 的取值范围是________.
【思路点拨】（1）根据充分必要条件的定义进行判断，利用
不等式性质肯定一个结论，或取特殊值否定一个结论.
（2）可直接利用不等式的性质以及幂函数和对数函数的单调
性进行比较，也可以采用特殊值方法进行比较.
(3)先求出x的范围，再求 的范围，从而求出 的取值范围.
【规范解答】（1）选B.由于c>d，所以-d>-c，因此当a>b时能
够推出a-d>b-c，但不一定有a-c>b-d，如a=3,b=2,c=4,d=1.但
当c>d且a-c>b-d时，必有a>b,所以是必要不充分条件.故选B.
（2）选D.由不等式a>b>1知 又c<0，所以 ①正
确；根据幂函数y=xc在（0，+∞)上的单调性知②正确；由
a>b>1，c<0知a-c>b-c>1-c>1，由对数函数的图象与单调性知
③正确.故选D.
(3)由-3<2x-1<1，得-11，于是 <-2
或 >2，故 -1<-3或 -1>1.
答案：(-∞,-3)∪(1,+∞)
【拓展提升】
1.判断命题真假的三种方法
（1）直接运用不等式的性质：把要判断的命题和相应的不等式的性质联系起来，利用不等式的性质进行推理判断.
（2）利用基本初等函数的单调性：当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断.
（3）取特殊值：即给要比较的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断.
2.正确运用倒数法则求范围
涉及“取倒数求范围”等问题时，注意倒数法则的正确运用.
一般地：
（1）若x>a,a>0，则
（2）若x>a,a<0，则
（3）若x（4）若x0，则
【变式训练】（1）下列命题中为真命题的是______.
①若a>b,则
②若a>b>0,c>d>0,则
③若a>b,且a,b∈R,则
④若 则1-sin α>0.
【解析】由于 所以①是错误的；由于a>b>0,c>d>0,所以
a2>b2>0, 所以
所以②正确；由于函数 是减函数，a>b,所以
故③正确；当 时，1-sin α=0,故④不正确.
答案：②③
(2)若1<α<3,-4<β<2,则α-|β|的取值范围是_______.
【解析】因为-4<β<2,所以0≤|β|<4,于是-4<-|β|≤0,又1<α<3,所以-3<α-|β|<3.
答案：(-3,3)
【创新体验】不等式与函数的融合
【典例】(2012·浙江高考)设a>0，b>0( )
(A)若2a+2a=2b+3b，则a＞b
(B)若2a+2a=2b+3b，则a＜b
(C)若2a-2a=2b-3b，则a＞b
(D)若2a-2a=2b-3b，则a＜b
【思路点拨】
【规范解答】选A.由于a>0,b>0，且2a+2a=(2b+2b)+b，所以有
2a+2a>2b+2b，设函数f(x)=2x+2x，显然函数f(x)在(0,+∞)上
是增加的，又f(a)>f(b)，所以有a>b.故A正确，B错误.
又2a-2a=(2b-2b)-b，所以2a-2a<2b-2b.设函数g(x)=2x-2x，则
g′(x)=2xln 2-2，由g′(x)>0可得 ,所以函数g(x)
在(0, )上是减少的，在( ,+∞)上是增加的.因
此由g(a)【思考点评】
1.方法感悟：本题充分体现了函数思想在解题中的应用，即通过构造函数，研究其单调性，通过单调性结合函数值的大小关系得出自变量值的大小关系.一般地，函数与不等式是紧密联系在一起的，很多不等式问题，都可以借助函数的方法进行求解，这种思想方法值得我们仔细体会.
2.技巧提升:（1）在通过构造函数解决不等式问题时，注意观察题目的特点.一般来说，要比较大小的两个式子(或已知大小关系的两个式子)，在结构上、形式上都非常类似，都可以看作是将某个函数解析式中的自变量换成了不同的数、字母等得到的，因此可以通过研究函数的单调性，得到自变量的大小与函数值的大小之间的关系.
（2）构造函数这种思想方法，不仅适用于不等式中的大小比较问题，也可以解决方程与等式问题；另外，构造函数后，不仅可以研究其单调性，还可以研究其奇偶性、周期性等，然后再利用奇偶性、周期性等解决相关问题.
1.（2013·九江模拟）在以下条件中，a＞b＞0,0＞a＞b,a＞0
＞b,b＞0＞a,能使 成立的充分条件的个数是( )
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
【解析】选B.当a＞b＞0时， 当0＞a＞b时， 当
b＞0＞a时， 故应选B.
2.（2013·西安模拟）设P=(x-3)(x-5),Q=(x-4)2，则P，Q的大小关系是( )
（A）P＞Q （B）P＜Q
（C）P=Q （D）不能确定
【解析】选B.P-Q=x2-8x+15-(x2-8x+16)=-1＜0,∴P＜Q.
3.（2013·铜山模拟）若a＞b＞0，且 则实数m的取
值范围是_________.
【解析】由 由a＞b＞0,
则上式等价于 即-b＜m＜0.
答案：(-b,0)
4.（2013·阳信模拟）A杯中有浓度为a的盐水x克，B杯中有浓度为b的盐水y克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A，B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为______．
【解析】依题意知a>b，将A，B两杯盐水混合后，盐水的浓度变为 故有
答案：
1.若a2+4b2+2>2a+4b，则实数a,b满足( )
(A)a≠1且b≠ (B)a≠1或b≠
(C)a=1且b= (D)a=1或b=
【解析】选B.由已知得a2+4b2+2-2a-4b>0，
即(a-1)2+(2b-1)2>0，只有当a=1,b= 时才有
(a-1)2+(2b-1)2=0，因此必有a≠1或b≠ .故选B.
2.若α，β∈ 记M=sin αcos β,N=sin α+cos β-1,
则M与N的大小关系是( )
(A)M>N (B)M(C)M=N (D)大小关系不确定
【解析】选A.由于M-N=sin αcos β-(sin α+cos β-1)
=(sin α-1)(cos β-1),而α,β∈
所以(sin α-1)(cos β-1)>0，故M >N.
3.设［x］表示不超过x的最大整数，又设x，y满足方程组
如果x不是整数，那么x+y的取值范围是( )
（A）(35，39) （B）(49，51)
（C）(71，75) （D）(93，94)
【解析】选D.∵［x-3］=［x］-3,
解 得［x］=20,y=73,
∵x不是整数，∴20＜x＜21,∴93＜x+y＜94.
故选D.
