集合与常用逻辑用语
第一节 集合
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
目 录
集合与常用逻辑用语
[知识能否忆起]
一、元素与集合
1．集合中元素的三个特性： 、 、 ．
2．集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系
有 和 两种，表示符号为 和 .
确定性
互异性
无序性
属于
不属于
∈
∉
3．常见集合的符号表示：
4．集合的表示法： 、 、 ．
列举法
描述法
韦恩图
N
N*或N＋
Z
Q
R
二、集合间的基本关系
A＝B
A⊆B
B⊇A
AB
BA
∅⊆B
非空集合
∅B(B≠∅)
三、集合的基本运算
{x|x∈A，
或x∈B}
{x|x∈A，
且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
[小题能否全取]
1．(2012·大纲全国卷)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B
＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，
则 (　　)
A．A⊆B　　　　　　　　　 B．C⊆B
C．D⊆C D．A⊆D
解析：选项A错，应当是B⊆A.选项B对，正方
形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，
正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D
错，应当是D⊆A.
答案： B
2．(2012·浙江高考)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝
{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝ (　　)
A．(1,4) B．(3,4)
C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)
解析：因为∁RB＝{x|x＞3，或x＜－1}，所以A∩(∁RB)＝{x|3＜x＜4}．
答案：B
3．(教材习题改编)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，
a∈A}，则A∩B＝B时a的值是 (　　)
A．2 B．2或3
C．1或3 D．1或2
解析：验证a＝1时B＝∅满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件．
答案：D
4.(2012·盐城模拟)如图，已知U＝{1,2,3,4,
5,6,7,8,9,10}，集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B
＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举
法写出图中阴影部分表示的集合为________．
解析：阴影部分表示的集合为A∩C∩(∁UB)＝{2,8}．
答案： {2,8}
答案：{0}
1.正确理解集合的概念
研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．
2．注意空集的特殊性
空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．
[例1]　(1)(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 (　　)
A．3 B．6
C．8 D．10
(2)已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2013＝________.
[自主解答]　(1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，
∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.
∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，
∴B中所含元素的个数为10.
[答案]　 (1)10　(2)－1或0
1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．
2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．
1．(1)(2012·北京东城区模拟)设P、Q为两个非空实数集
合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
(2)已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，则a＝________.
解析：(1)∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11，
∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P＋Q中有8个元素．
[例2]　(1)(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
[自主解答]　(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，
　　∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
　　(2)由log2x≤2，得0　　即A＝{x|04，即c＝4.
　　[答案]　(1)4　(2)4
1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．
A．[－2 012,2 013] B．(－2 012,2 013)
C．[－2 013,2 011] D．(－2 013,2 011)
答案：(－2 012,2 013)
[例3] 　(1)(2011·江西高考)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于 (　　)
A．M∪N　　　　　 B．M∩N
C．(∁UM)∪(∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN)
(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是________．
[自主解答] 　A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，
得B⊆A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1或m＝2符合条件．
∴m＝1或2.
[答案]　(1)D　(2)1或2
将例3(1)中的条件“M＝{2,3}”改为“M∩N＝N”，试求满足条件的集合M的个数．
　　解：由M∩N＝N得M⊇N.
　　含有2个元素的集合M有1个，含有3个元素的集合M有4个，
　　含有4个元素的集合M有6个，含有5个元素的集合M有4个，
　　含有6个元素的集合M有1个．
　　因此，满足条件的集合M有1＋4＋6＋4＋1＝16个．
1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．
2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，一定先考虑A或B是否为空集，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
A．[0,1] B．[0,1)
C．(0,1) D．(0,1]
答案：D

以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，常见的命题形式有新定义、新运算、新性质，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．
1．创新集合新定义
创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．
A．1　　　　　　　　　B．3
C．7 D．31
[答案]　B
[题后悟道]　该题是集合新定义的问题，定义了集合中元素的性质，此类题目只需准确提取信息并加工利用，便可顺利解决．
2．创新集合新运算
创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．
[典例2]　设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝ (　　)
A．{x|0C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}
[解析]　由log2x<1，得0[答案]　B
[题后悟道]　解决创新集合新运算问题常分为三步：
(1)对新定义进行信息提取，确定化归的方向；
(2)对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；
(3)对定义中提出的知识进行转换，有效地输出．其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点．
3．创新集合新性质
创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．
A．1 B．－1
C．0 D．i
[解析]　∵S＝{a，b，c，d}，由集合中元素的互异性可知当a＝1时，b＝－1，c2＝－1，∴c＝±i，由“对任意x，y∈S，必有xy∈S”知±i∈S，∴c＝i，d＝－i或c＝－i，d＝i，
∴b＋c＋d＝(－1)＋0＝－1.
[答案]　B
[题后悟道] 　此题是属于创新集合新性质的题目，通过非空集合S中的元素属性的分析，结合题目中引入的相应的创新性质，确定集合的元素．
教师备选题（给有能力的学生加餐）
答案：－1
2．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足
S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是 (　　)
A．57 B．56
C．49 D．8
解析：由S⊆A且S∩B≠∅可知：元素4,5,6中至少有
一个是S中的元素．S中的其余元素是从1,2,3中选1
个，2个，3个或不选．
故S的个数为(C＋C＋C)×23＝56.
答案： B
3．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小
组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
解析：由题意知，同时参加三个小组的人
数为0，设同时参加数学和化学小组的人
数为x，Venn图如图所示，
∴(20－x)＋6＋5＋4＋(9－x)＋x＝36，解得x＝8.
答案：8
4．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a≤0}，B＝{x|a≤x≤4a－9}，
若A，B中至少有一个不是空集，则a的取值范围是________．
解析：若A，B全为空集，则实数a满足4－4a<0且a>4a－9，即1(－∞，1]∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)
答案：D
[知识能否忆起]
一、命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 的
陈述句叫做命题．其中 的语句叫做真命题，
的语句叫做假命题．
判断真假
判断为真
为假
判断
二、四种命题及其关系
1．四种命题
若q，则p
2．四种命题间的逆否关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性
．
三、充分条件与必要条件
1．如果p⇒q，则p是q的 ，q是p的 ．
2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的 ．
相同
没有关系
充分条件
必要条件
充要条件
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为 (　　)
答案：A
答案：C
3．(2012·温州适应性测试)设集合A，B，则A⊆B是A∩B
＝A成立的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．
答案：C
4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”
的否命题为：____________________.
解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，
结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．
即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐
角”．
答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是
锐角”
5．下列命题中所有真命题的序号是________．
①“a>b”是“a2>b2”成立的充分条件；
②“|a|>|b|”是“a2>b2”成立的必要条件；
③“a>b”是“a＋c>b＋c”成立的充要条件．
答案：②③
1.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分
(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．
2．从逆否命题，谈等价转换
由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．
[例1]
A．①②③④　　　　　 B．①③④
C．②③④ D．①④
[自主解答]　①中否命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确．
[答案]　B
在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．
1．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正
确命题的序号)．
①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．
解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题
“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.
答案：②④
[例2]　(1)(2012·浙江十校联考)设x∈R，那么“x<0”是“x≠3”的 (　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2012·北京高考)设a，b∈R,“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的 (　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[自主解答]　(1)取x＝0，则x2－2x＝0，故由x<2不能推出x2－2x<0；由x2－2x<0得0(2)当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
[答案]　(1)B　(2)B
充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．
2．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；
(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.
[例3] 方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是 (　　)
A．0C．a≤1 D．0法二：(排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C.
[答案]　C
利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：
(1)若p是q的充分不必要条件，则p⇒q且q⇒/ p；
(2)若p是q的必要不充分条件，则p ⇒/ / q，且q⇒p；
(3)若p是q的充要条件，则p⇔q.
3．(2013·兰州调研)“x∈{3，a}”是不等式2x2－5x－3≥0
成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是
(　　)
[答案]　D

[典例]　(2012·山东高考)设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[常规解法]　“函数f(x)＝ax在R上是减函数”的充要条件是p：0因为g′(x)＝3(2－a)x2，而x2≥0，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是2－a>0，即a<2.
又因为a>0且a≠1，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是q：0显然p⇒q，但q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件，即“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．
[答案]　A
1．充分、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法．
2．三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．
[巧思妙解]　p：“函数f(x)＝ax在R上是减函数”等价于00，即a<2.而{a|0答案：B
教师备选题（给有能力的学生加餐）
1．(2012·济南模拟)在命题p的四种形式的命题(原命题、
逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝ (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0与l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，则必有a1b2－a2b1＝0，但当a1b2－a2b1＝0时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，因此命题p是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)＝2.
答案： B
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案： B
3．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命
题的真假．
[知识能否忆起]
一、简单的逻辑联结词
1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作 ，读作“ ”．
2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作 ，读作“ ”．
p∧q
p且q
p∨q
p或q
假
一真一假
(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为 ，读作“
”．
二、全称量词与存在量词
1．全称量词与全称命题
(1)短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)含有 的命题，叫做全称命题．
所有的
任意一个
∀
全称量词

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