第一章
§ 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲
§ 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
1. 理解命题的概念．
2. 了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题间的相互关系．
3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
第二节
最新考纲
基础梳理
自主测评
典例研析
特色栏目
备课优选
1. 命题
用语言、符号或式子表达的可以判断______的陈述句．
2. 四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
基础梳理
真假
(2)四种命题的真假判断
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的_________．
②原命题的逆命题和否命题，它们的真假性________．
3. 充分条件、必要条件与充要条件
(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的_______条件，q是p的_______条件．
(2)若既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则_____是___的_______条件，q也是p的_______条件．
(3)若p是q的充分条件，则¬q是¬p的_______条件．
真假性
相同
充分
必要
p
q
充要
充要
充分
拓展提升
自主测评
解析：
(1)正确．根据命题的概念，只要是命题就一定能够判断真假．即一个命题非真即假．
(2)错误．命题的定义是能判断真假的陈述句，本语句是一个疑问句，故不能作为命题．
(3)错误．p成立且q成立的否定是“p不成立或q不成立”．
(4)正确．根据命题与其逆否命题等价可得．
解析：由(a－1)(a－2)＝0，得a＝1或a＝2，∴a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0. 而由(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.故a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分不必要条件．
A
A
5. (2013·绍兴模拟)已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x(4，＋∞)
题型1 ·四种命题的关系及真假的判断
题型分类 ·典例研析
例1 (1)(2013·锦州模拟)命题“若函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是 __________．
(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．
思路点拨：(1)根据原命题的逆否命题的定义可得结论．(2)由四种命题的关系得到逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．
规范解答： (1)由原命题的逆否命题的定义知原命题的逆否命题为“若loga2≥0(a>0且 a≠1)，则函数 f(x)＝logax在其定义域内不是减函数”．
(2)由条件知，原命题正确，故其逆否命题正确；又其逆命题不正确，故其否命题不正确．因此真命题的个数是1.
易错警示：(1)中改写逆否命题时易改写为“若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在其定义域内是增函数”而导致错误．
规律总结：1. 已知原命题写出该命题的其他命题时，要以各种命题的定义为依据，先要分清命题的条件与结论．
2. 原命题与其逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假．
迁移发散1 (1)(2013·惠州模拟)关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是 ( )
A. 都真　　 B. 都假　　
C. 否命题真　　 D. 逆否命题真
(2)给定下列命题：
①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否命题．
其中真命题的序号是________．(填序号)
规范解答：(1)命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则 {x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，∴其逆否命题也为真命题．但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，∵当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上．因此其否命题也是假命题．
(2)①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，∴k＞－1，∴①是真命题．②其逆否命题为真，故②是真命题．③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．④否命题：“若xy≠0，则x，y都不为零”是真命题．
题型2 ·充分条件与必要条件的判定
例2(1)(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A. 充分不必要条件　　 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件　　 D. 既不充分也不必要条件
(2)(2013·金华模拟)“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的( )
A. 充分不必要条件　　 B. 必要不充分条件
C. 充要条件　　 D. 既不充分也不必要条件
(3)“x＝1或x＝2”的一个充分不必要条件是( )
A. x＝－1　　 B. x＝1 C. x2＝1　　 D. (x－1)(x－2)＝0
思路点拨：(1)由两直线平行的充要条件求得a，再进行判断．(2)运用等价命题判断．(3)利用排除法求解．
易错警示：本例(3)中很容易因理解错误而致误．正确的理解：选出的答案能推得“x＝1或x＝2”成立，反之不成立．
规律总结：判断充分性与必要性的常用方法：
(1)定义法：①定条件．确定命题中哪个是条件，哪个是结论；②找推式．是A⇒B形式，还是B⇒A形式；③下结论．根据定义下结论．
(2)等价法：利用A⇒B与¬B⇒¬A；B⇒A与¬A⇒¬B的等价关系．一般地，对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，可运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断．若A⇒B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
题型3 ·充分条件与必要条件的应用
例3 (2013·常德模拟)已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
思路点拨：根据充分不必要条件，可以知道p对应的集合是q对应的集合的真子集，根据真子集的定义可以得出结论．
思路点拨：解法一：转化为集合运算，解不等式；解法二：利用¬p⇒¬q等价命题，转化为集合的运算，解不等式得出结论．
易错提示：解法二：¬p是¬q的充分不必要条件等价转换为p是q的必要不充分条件，很容易转换为p是q的充分不必要条件而导致错误．
规律总结：解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
迁移发散3设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
数学思想应用
—— 转化与化归思想在充要条件关系中的应用
已知命题p：－2≤x≤10，命题q：x2－2x＋1≤m2(m＞0)．若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
思路点拨：由命题p成立得x的范围为A，由命题q成立求得x的范围为B，由题意可得AB，可得关于m的不等关系式，由此求实数m的取值范围．
规律总结：在判断含参数的充分条件与必要条件时，如果直接解决比较困难时，可以先用等价转化思想，将复杂的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般在涉及字母参数的取值范围的充要关系中，常要利用集合的包含、相等关系来判断，这是解题的关键．
迁移发散：已知a＞0，命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解．命题q：只有一个实根x0满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
备课优选
题型1 ·四种命题的关系及真假的判断
例5下列有关命题说法正确的是()
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B. “x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C. “1是偶数或奇数”为假命题
D. 命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
思路点拨：命题的否命题是对命题的题设和结论分别进行否定．
规范解答：“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，A错误；若x＝－1，则x2－5x－6＝0；若x2－5x－6＝0，则x＝－1或 x＝6，即“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，B错误；由于1是奇数，则1是偶数或奇数为真命题，C错误；若x＝y，则 sin x＝sin y为真命题，由互为逆否命题的真假关系相同可知其逆否命题为真，D正确，故选D.
题型4 ·命题等价转化的应用
例6已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题：“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．写出该命题的逆命题、逆否命题，判断真假，并证明你的结论.
思路点拨：利用四种命题间的关系解题，本题涉及函数的单调性和不等式性质．
规范解答：原命题：“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”为真.
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，即f(a)≥f(－b), f(b)≥f(－a)．
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，(4分)
故逆否命题：“若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0”也为真. (6分)
否命题：“若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)”为真.
∵a＋b＜0，∴a＜－b，b＜－a，∴f(a)＜f(－b), f(b)＜f(－a)，
∴f(a)＋f(b)＜f(－b)＋f(－a)，(10分)
故逆命题：“若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0”也为真. (12分)
点评：当直接判断不好判断时，要善于转化．本题在判断命题真假时，既要理解函数单调性的定义，也要掌握等价命题的转化，避免走弯路．
规律总结：在判断命题的真假时，常常运用等价转化的思想，需牢牢掌握原命题和逆否命题等价，逆命题和否命题等价的规律．
题型5 ·充要条件的证明
例7 设a，b，c为△ABC的三边长，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
思路点拨：有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”推出“结论”是证明命题的充分性，由“结论”推出“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．
易错警示：易出现的错误是颠倒了充分条件和必要条件，把充分条件当成必要条件而致误．
规律总结:证明充要条件的基本方法是从“充分性”和“必要性”两个方面分别进行证明．一般有两种格式：
(1)A成立是B成立的充要条件，此时条件是A，故充分性是 A⇒B，必要性是B⇒A；
(2)A成立的充要条件是B成立，此时条件是B，故充分性是 B⇒A，必要性是A⇒B.
精选习题
解析：若y＝f(x)为奇函数，则y＝|f(x)|的图像关于y轴对称，反过来不成立，即若y＝f(x)为偶函数，则y＝|f(x)|的图像也关于y轴对称．
1. 对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图像关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( B )
　 　　　　　　　　 　　　　　 　　　　
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.(2013·嘉定、黄浦联考)已知空间三条直线a，b，m及平面α，且a，b⊂α.条件甲：m⊥a，m⊥b；条件乙：m⊥α，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的( A )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：根据线面垂直的性质知，若m⊥α，一定有m⊥a，m⊥b；但若m⊥a，m⊥b，不一定有m⊥α，因为a，b不一定相交．因此“条件乙成立”是“条件甲成立”的充分不必要条件．
4.有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
其中真命题的序号为 ①③
解析：①若x，y互为相反数，则x＋y＝0，真命题．②“不是全等三角形的两个三角形面积不相等”，假命题．③“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”；Δ＝4－4q≥0⇒q≤1.真命题．④“若三角形三个内角不相等，则三角形是等边三角形”，假命题．