第一章
§1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲
§ 1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1. 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2. 理解全称量词与存在量词的意义．
3. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定
第三节
最新考纲
基础梳理
自主测评
典例研析
特色栏目
备课优选
基础梳理
且
1. 简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．
(2)p且q是用逻辑联结词“______”把命题p和命题q联结起来得到的新命题，记作________．
(3)p或q是用逻辑联结词“__ __”把命题p和命题q联结起来得到的新命题，记作_________ ．
(4)对一个命题p________得到一个新命题，记作¬p.
p∧q
或
p∨q
否定
3. 全称量词和存在量词
(1)全称量词有：全部的、所有的、任意的、…，用符号“____”表示．存在量词有：存在一个、至少有一个、有些、…，用符号“_______”表示．
(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做___________．“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为____________．
∃
∀
全称命题
∀x∈M，p(x)
(3)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为_______________．
∃x0∈M，p(x0)
拓展提升
命题与命题的否定、否命题的真假
(1)命题的否定与原命题的真假总是对立的，两者中有且只有一个为真．若原命题为真，则其否定为假；若原命题为假，则其否定为真．
(2)原命题与其否命题的真假无必然联系．
自主测评
解析：(1)错误．若p为真命题，q为假命题，则命题p∧q为假命题．
(2)正确．一个命题与其否定一定是一真一假．
(3)正确．根据且命题、或命题、命题的否定的含义可得．
(4)正确．由于全称命题是对任意对象都成立的一个命题，当全称命题为真时就是一个一般性结论．
(5)正确．一个命题与其否定一定是一真一假．
解析： ∵¬p且q为真，∴p为假，q为真．故①③④正确．
B
B
5. (2012·辽宁高考改编)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，则¬p是_________________________．
解析：由全称命题的否定为特称命题知¬p是∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0.
∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
题型1 ·含有逻辑联结词的命题真假的判定
题型分类 ·典例研析
例1 (1)(2013·抚顺模拟)已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4A. “¬p”是假命题　　
B. q是真命题
C. “p或q”为假命题　　
D. “p且q”为真命题
(2)(2013·营口模拟)对空间中不同的两条直线a，b和平面α，有如下两个命题，命题p：若a⊥α，b⊥α，则a∥b；命题q：若a∥α，b∥α，则a∥b.则下列判断正确的是( )
A. “p∨q”是假命题　　
B. “p∧q”是真命题
C. “(¬p)∨q”是真命题　　
D. “p∧(¬q)”是真命题
易错警示：本题易出现线面位置关系判断不正确导致错误，需要熟记线面垂直的判断方法．
思路点拨：首先判断命题p，q的真假， 然后判断复合命题的真假．
规律总结：1. 判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．
2. 判断命题真假的步骤：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中简单命题的真假；(3)根据真值表判断复合命题的真假．
迁移发散1分别判断下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题的真假．
(1)p：3>3，q：3＝3；
(2)p：∅∈{∅}，q：0∈∅；
(3)p：A⊆A，q：A∩A＝A；
(4)p：函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．
规范解答： (1)∵p假q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假，“¬p”为真．(4分)
(2)∵p真q假，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假，“¬p”为假．(8分)
(3)∵p真q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真，“¬p”为假．(12分)
(4)∵p假q假，∴“p∨q”为假，“p∧q”为假，“¬p”为真．(16分)
题型2 ·全称命题与特称命题
例2 (1)(2012·湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A. 任意一个有理数，它的平方是有理数
B. 任意一个无理数，它的平方不是有理数
C. 存在一个有理数，它的平方是有理数
D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数
(2)(2013·辽阳模拟)下列命题：
①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；
②若log2 x＋logx 2≥2，则x>1；
③“若a>b>0且c<0，则＞”的逆否命题是真命题；
④若命题p：∀x∈R，x2＋1≥1，命题q：∃x∈R，x2－x－1≤0，则命题p∧(¬q)是真命题．
其中真命题为( )　
A. ①②③　　 B. ①②④　　
C. ①③④　　 D. ②③④
易错警示： (1)要特别注意命题的否定与否命题不是同一个概念，否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，命题的否定只是对原命题的结论进行否定．(2)对含有量词的命题进行否定时，除了把命题的结论否定外，还要注意量词的改变，即全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题．
思路点拨： (1)根据全(特)称命题的否定形式求解．(2)根据命题的不同形式，逐一作出判断．
规律总结：1. 弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题的否定的前提．
2. 在否定命题时要注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
3. 要判断一个全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对限定集合M中的每一个元素x证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题(即通常所说的举反例)．
4. 要判定一个特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只要在限定的集合M中至少找到一个x0，使p(x0)成立即可．否则这一特称命题就是假命题．
迁移发散2：下列命题的否定为假命题的是( )
A. p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0
B. p：有的三角形是等边三角形
C. p：所有能被3整除的整数是奇数
D. p：每一个四边形的四个顶点共圆
规范解答：A中p的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.由于x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，∴该命题为真命题；B中 p的否定：所有的三角形都不是等边三角形．此命题为假命题；C中 p的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.0是能被3整除的非奇数，故该命题为真命题；D中 p的否定：存在一个四边形的四个顶点不共圆．该命题为真命题．故选B.
题型3 ·根据含有逻辑联结词的命题的真假求参数
思路点拨：求出p，q为真时的a的取值集合，然后根据复合命题之间的关系判断集合间的取值范围，得出结论．
易错警示：命题“p 或 q”与“p 且 q”形式的语句中，若字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p 或 q”还是“p 且 q”形式．一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”．
规律总结：解决这类问题时，应先根据题目条件，即复合命题的真假情况，推断每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)，然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
迁移发散3 已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A. [2，＋∞)　　
B. (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
C. (－∞，－2]∪[2，＋∞)　　
D. [－2，2]
规范解答： ∵p∧q为假命题，∴p，q中至少有一个是假命题．若p是假命题，则m＞－1；若p是真命题，则m≤－1，且q必是假命题，即Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2，此时，m≤－2.综上可知，实数m的取值范围是(－∞，－2]∪(－1，＋∞)．
转化与化归思想在命题中的应用析
数学思想应用
思路点拨：解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．
规范解答：由“p且q”是真命题，
则p为真命题，q也为真命题．(3分)
若p为真命题，则a≤x2在x∈[1，2]时恒成立，
∴a≤1.(6分)
若q为真命题，
则x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2，(10分)
综上，所求实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．(12分)
规律总结：含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题(一个或两个)的真假，求出参数存在的条件，最后再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．若直接求p成立的条件困难，可转化成求¬p成立的条件，然后取补集．
备课优选
题型4 ·否命题与命题的否定
例4写出下列命题的否定及否命题：
(1)菱形的对角线互相垂直；
(2)面积相等的三角形是全等三角形．
思路点拨：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．结合命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词再进行否定．
规范解答： (1)命题的否定：存在一个菱形，其对角线不互相垂直．
否命题：不是菱形的四边形，其对角线不互相垂直．(6分)
(2)命题的否定：存在面积相等的三角形不是全等三角形．
否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．(12分)
规律总结：在写命题的否命题与命题的否定时需要注意：否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论．在真假性上，一个命题与它的否定形式是完全对立的，两者之间有且只有一个成立；而命题是否成立与它的否命题是否成立，两者没有关系．
题型5 ·逻辑用语的简单综合应用
思路点拨：分别解出命题p，q，根据p∧q为假，p∨q为真的等价关系求解．
规律总结：逻辑用语作为一种数学工具，通常不会单独考查，在高考中多与其他知识综合考查，如三角函数、数列、不等式等，在应用时应注意含逻辑联结词的复合命题的真假，及充分、必要条件的集合意义．
精选习题
1.(2013·郑州模拟)下列四个命题中的真命题为( )
A. ∃x0∈Z，1<4x0<3 B. ∃x0∈Z，5x0＋1＝0
C. ∀x∈R，x2－1＝0 D. ∀x∈R，x2＋x＋2>0
2.命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是( )
A. ∃x∈R，x2－2x＋1≥0 B. ∃x∈R，x2－2x＋1>0
C. ∀x∈R，x2－2x＋1≥0 D. ∀x∈R，x2－2x＋1<0
解析：因要否定的命题是特称命题，而特称命题的否定为全称命题．对x2－2x＋1<0的否定为x2－2x＋1≥0，故选C.
3.已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1①命题p∧q是真命题；②命题p∧(¬q)是假命题；③命题(¬p)∨q是真命题；④命题(¬p)∨(¬q)是假命题．
其中正确的是_______．
解析：命题p，q均为真命题，故填①②③④.
4.已知命题p：直线a，b相交，命题q：直线a，b异面，则¬p是q的_______条件．
解析：依题意得¬p：直线a，b不相交．由直线a，b不相交不一定能得出直线a，b是异面直线；反过来，由直线a，b是异面直线可得直线a，b不相交．因此，¬p是q的必要不充分条件．
5. (2013·合肥联考)已知命题r(x)：sin x＋cos x＞m，命题s(x)：x2＋mx＋1＞0.如果对∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．