第1讲　集合及其运算
知 识 梳 理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征： 、 、无序性．
(2)元素与集合的关系为 或 关系，分别用符号 或 表示．
(3)集合的表示法： 、 、图示法、区间法．
(4)常用数集：自然数集N、正整数集N*(或N＋)、整数集Z、有理数集Q、实数集R.
(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分
为 、无限集、空集．
确定性
互异性
属于
不属于
∈
∉
列举法
描述法
有限集
A⊆B
子集
2n
2n－1
3．集合的运算及其性质
(1)集合的并、交、补运算
并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；
交集：A∩B＝ ；
补集：∁UA＝ ．
U为全集，∁UA表示A相对于全集U的补集．
(2)集合的运算性质
①并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝A⇔B⊆A.
②交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝A⇔A⊆B.
③补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
辨 析 感 悟
1．元素与集合的辨别
(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1. (×)
(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2. (√)
(3)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．
(×)
[感悟·提升]
1．一点提醒　求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．如第(3)题就是混淆了数集与点集．
2．两个防范　一是忽视元素的互异性，如(1)；
二是运算不准确，尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心，如(6).
考点一　集合的基本概念
【例1】 (1)(2013·江西卷改编)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝________.
(2)(2013·山东卷改编)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．
解析　(1)由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；
当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.(a＝0不合题意舍去)．
(2)x－y∈{－2，－1,0,1,2}．
答案　(1)4　(2)5
规律方法 集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
答案　1
考点二　集合间的基本关系
【例2】 (1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1 (2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求m的值．
解　(1)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠∅时，若B⊆A，如图．
(2)A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，
∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.
规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．
(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．
【训练2】 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0 (2)(2014·郑州模拟)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为________．
考点三　集合的基本运算
【例3】 (1)(2013·山东卷改编)已知集合A，B均为全集U＝{1,2，3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁UB＝________.
(2)(2014·唐山模拟)若集合M＝{y|y＝3x}，集合S＝{x|y＝lg(x－1)}，则下列各式正确的是________．
①M∪S＝M；②M∪S＝S；③M＝S；④M∩S＝∅
解析　(1)由∁U(A∪B)＝{4}知A∪B＝{1,2,3}．
又B＝{1,2}，∴3∈A，∁UB＝{3,4}，∴A∩∁UB＝{3}．
(2)M＝{y|y＞0}，S＝{x|x＞1}，故只有①正确．
答案　(1){3}　(2)①
规律方法 一般来讲，集合中的元素离散时，则用Venn图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
【训练3】 (1)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为________．
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)＜1}，则A∩(∁UB)＝________.
解析　(1)∁UA＝{0,4}，∴(∁UA)∪B＝{0,2,4}．
(2)由log2(x－2)＜1，得0＜x－2＜2,2＜x＜4，所以B＝{x|2＜x＜4}．故∁UB＝{x|x≤2，或x≥4}，从而A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤2}．
答案　(1){0,2,4}　(2){x|－1≤x≤2}
数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．
创新突破1——与集合有关的新概念问题
【典例】 已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
解析　法一(列表法)　因为x∈A，y∈A，所以x，y的取值只能为1,2,3,4,5，故x，y及x－y的取值如下表所示：
由题意x－y∈A，故x－y只能取1,2,3,4，由表可知实数对(x，y)的
取值满足条件的共有10个，即B中的元素个数为10.
法二(直接法)　因为A＝{1,2,3,4,5}，所以集合A中的元素都为正数，若x－y∈A，则必有x－y＞0，x＞y.
当y＝1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；
当y＝2时，x可取3,4,5，共有3个数；
当y＝3时，x可取4,5，共有2个数；
当y＝4时，x只能取5，共有1个数；
当y＝5时，x不能取任何值．
综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为
4＋3＋2＋1＝10.
答案　10
[反思感悟] (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．
(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．
【自主体验】
设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“好元素”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个．
解析　依题，可知由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数．故这样的集合共有6个．
答案　6