第2讲　命题及其关系、充要条件
知 识 梳 理
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 的语句叫做命题，其中判断为 的语句叫真命题，判断为 的语句叫假命题．
判断真假
真
假
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的 ，q是p的 ；
(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的 ．
充分条件
必要条件
充要条件
相同
[感悟·提升]
1．一个区别　否命题与命题的否定是两个不同的概念．否命题同时否定原命题的条件和结论，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)，如(1)把否命题错看成是命题的否定．
考点一　命题及其相互关系
【例1】 已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则①否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题；②逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题．以上四个结论正确的是________．(填序号)
解析　由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．
答案　④
规律方法 (1)在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件与结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题．
(2)当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变．
(3)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例．
(4)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
【训练1】 (2013·吉林白山二模)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是________．
答案　若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
考点二　充分条件、必要条件的判断
【例2】 (1)(2013·福建卷改编)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的________条件．
(2)(2013·济南模拟)如果a＝(1，k)，b＝(k,4)，那么“a∥b”是“k＝－2”的________条件．
解析　(1)当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0，
但方程x＋y－1＝0有无数多个解，不能确定x＝2且y＝－1，
∴“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件．
(2)因为a∥b，所以1×4－k2＝0，即4＝k2，所以k＝±2.所以“a∥b”是“k＝－2”的必要不充分条件．
答案　(1)充分而不必要　(2)必要不充分
规律方法 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
答案　充分不必要
1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．
2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．
3．命题的充要关系的判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．
(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
[反思感悟] 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
【自主体验】
1．(2013·山东卷改编)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的________条件．
答案　充分不必要
2．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是________．
①[1，＋∞)；②(－∞，1]；③[－1，＋∞)；④(－∞，－3]
解析　由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.
答案　①