第3讲
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．简单的逻辑联结词
(1)逻辑联结词
命题中的“ ”、“ ”、“ ”叫做逻辑联结词．
(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
且
或
非
真
假
假
假
假
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
真
真
綈p
p∨q
p∧q
q
p
2. 全称量词与存在量词
(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀x”表示“对任意x”，含
有 的命题，称为全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为： ．
(2)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词．用符号“∃x”表示“存在x”，含有存在量词的命题称为 ．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可以用符号简记为： ．
全称量词
∀x∈M，p(x)
存在性命题
∃x∈M，p(x)
3．含有一个量词的命题的否定
∀x∈M，綈p(x)
∃x∈M，p(x)
∃x∈M，綈p(x)
∀x∈M，p(x)
命题的否定
命题
辨 析 感 悟
1．逻辑联结词的理解与应用
(1)命题p∧q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题． (√)
(2)命题p∨q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题． (×)
2．对命题的否定形式的理解
(3)(2013·山西四校联考改编)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”． (√)
(4)(2013·东北联考改编)命题p：∃n0∈N,2n0＞1 000，
则綈p：∃n∈ N,2n≤1 000. (×)
(5)(2013·四川卷改编)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x∈B，则綈p：∃x∉A,2x∉B.(×)
(6)已知命题p：若x＋y＞0，则x，y中至少有一个大于0，则綈p：若x＋y≤0，则x，y中至多有一个大于0. (×)
[感悟·提升]
1．一个区别　逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形．有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样，这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系．如“并且”、“綉”的含义为“且”；“或者”、“≤”的含义为“或”；“不是”、“∉”的含义为“非”．
2．两个防范　一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误，綈p指的是命题的否定，只需否定结论．如(5)、(6)；二是否定时，有关的否定词否定不当，如(6)．
答案　假　假
规律方法 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相对，做出判断即可．
【训练1】 (2013·湖北卷改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________．　　　　　　　　　　　　　　　　　
①(綈p)∨(綈q)；②p∨(綈q)；③(綈p)∧(綈q)；④p∨q
解析　命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．
答案　①
规律方法 对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．
【训练2】 (1)(2013·江门、佛山模拟)已知命题p：∃x＞1，x2－1＞0，那么綈p是________．　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)命题：“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．
解析　(1)特称命题的否定为全称命题，所以綈p：∀x＞1，x2－1≤0.
(2)将“任意”改为“存在”，“有实根”改为“无实根”，所以原命题的否定为“存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0无实根”．
答案　(1)∀x＞1，x2－1≤0　(2)存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0无实根
答案　p2，p4
规律方法 对于存在性命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立.
答案　②
1．逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
2．正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p”，只是否定命题p的结论．
命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真．
答题模板1——借助逻辑联结词求解参数范围问题
【典例】 (12分)已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围．
[规范解答]　∵函数y＝ax在R上单调递增，∴p：a＞1.
不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立，且a＞0，
∴a2－4a＜0，解得0＜a＜4，∴q：0＜a＜4. (5分)
∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p、q中必有一真一假． (7分)
①当p真，q假时，{a|a＞1}∩{a|a≥4}＝{a|a≥4}． (9分)
②当p假，q真时，{a|0＜a≤1}∩{a|0＜a＜4}＝{a|0＜a≤1}． (11分)
故a的取值范围是{a|0＜a≤1，或a≥4}． (12分)
[反思感悟] 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．
答题模板　第一步：求命题p、q对应的参数的范围．
第二步：求命题綈p、綈q对应的参数的范围．
第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p真q假”或“p假q真”．
第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围．
第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．
【自主体验】
(2014·泰州月考)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解　设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，
故Δ＝4a2－16＜0，∴－2＜a＜2.
又∵函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，
∴3－2a＞1，∴a＜1.
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．