第七节　直接证明与间接证明
1．直接证明
推理论证
成立
证明的结论
充分条件
2.间接证明
反证法：假设原命题 ___________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_______．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
不成立
矛盾
1．综合法和分析法的区别和联系是什么？
【提示】　综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用．
2．反证法的关键是推出矛盾，所谓矛盾主要是指什么？
【提示】　反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
1．(人教A版教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　)
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
【答案】　B
【答案】　D
【答案】　－b
4．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：
①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝________．
【解析】　由(n＋1)*1＝n*1＋1，得
n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2
＝…＝1*1＋(n－1)＝1＋n－1＝n.
【答案】　n
定义在x∈[0，1]上的函数f(x)．若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由．
【思路点拨】　根据理想函数的定义加以判定证明．
【尝试解答】　g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是理想函数．
当x∈[0，1]时，g(x)＝2x－1是增函数，
∴20－1≤g(x)≤21－1，即0≤g(x)≤1，
则函数g(x)(x∈[0，1])满足条件(1)，
当x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1时，
f(x1＋x2)＝2x1＋x2－1，
f(x1)＋f(x2)＝2x1＋2x2－2，
∴f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]
＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1
＝2x1(2x2－1)－(2x2－1)
＝(2x2－1)(2x1－1)，
∵x1≥0，x2≥0，
∴2x1－1≥0，2x2－1≥0，
∴f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]≥0，
则f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)满足条件(2)．
故函数g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是理想函数．
1．综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．
2．综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
(2012·湖南高考改编)已知函数f(x)＝rx－xr＋(1－r)，其中x＞0，r为有理数．
(1)若0＜r＜1，求函数f(x)的最小值．
(2)试用(1)的结论证明命题：设a1＞0，a2＞0，b1，b2为正有理数，若b1＋b2＝1，则a1b1·a2b2≤a1b1＋a2b2.
【解】　(1)f′(x)＝r－rxr－1＝r(1－xr－1)，
令f′(x)＝0，得x＝1，
【思路点拨】　从条件难以向结论转化．转换角度从结论出发，寻找使结论成立的充分条件．
1．对于无理不等式，常用分析法证明．通过反推，逐步寻找结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．
2．对于较复杂的不等式，通常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以证明，分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，优点是利于思考，因为它的方向明确，思路自然，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁．
即证2a2－ac－c2>0，即证(2a＋c)(a－c)>0.
∵2a＋c＝a－b>0，a－c>0，
∴(2a＋c)(a－c)>0成立，∴原命题成立.
(2011·安徽高考)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明：l1与l2相交；
(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
【思路点拨】　第(1)问采用反证法；(2)求直线l1与l2的交点坐标，代入椭圆方程验证．
1．当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，直用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．
2．用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须否定结论；(2)必须从否定结论进行推理；(3)推导出的矛盾必须是明显的．
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用．
1.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论．
2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
反证法证明的关键：(1)准确反设；(2)从否定的结论正确推理；(3)得出矛盾．
从近两年高考试题看，综合法、分析法是高考考查的热点，主要考查考生的观察、抽象概括、联想等思维能力，同时也考查考生运用综合——分析法分析问题、解决问题的能力．多在知识的交汇处命题，如数列、立体几何中的平行垂直、不等式、函数、解析几何等都可能考查．在具体求解时，应注意运用转化与化归思想寻求解题思路．
【解析】　①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b为正实数，若a－b≥1，则必有a＋b>1，不合题意，故①正确．
【答案】　①④
易错提示：(1)解题时不注意分析题目中条件与结论的差异之处，不能化异为同，从而导致无从下手或无的放矢．
(2)忽视命题真假不定，而一味地证明其为真，导致事倍功半，甚至出现错误．
防范措施：(1)注意培养观察能力，即观察条件、结论，且能从数学的角度揭示其差异，如“高次↔低次”、“分式(根式)↔整式”、“多元↔一元”等，从而为我们的化归转化指明方向，奠定基础．
(2)注意这类判断命题真假的题目，其解法上既要规范，又要灵活．当判断为真时，需严格地推理证明；而判断为假时，只需举一反例即可．
1．(2012·江西高考改编)下列命题中，假命题为(　　)
A．存在四边相等的四边形不是正方形
B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数
C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1
D．对于任意n∈N*，2n都是偶数
【解析】　选项B中，若z1＋z2为实数，则保证z1，z2虚部互为相反数即可，并不需要z1，z2互为共轭复数，如z1＝1－i，z2＝2＋i.故B不对．
【答案】　B