第八节　函数与方程
1．函数零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使__________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与_____有交点⇔函数y＝f(x)有 _______．
f(x)＝0
x轴
零点
(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有______________，那么函数y＝f(x)在区间_________内有零点，即存在x0∈(a，b)，
使得_____________．
f(a)·f(b)<0
(a，b)
f(x0)＝0
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
3.二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且________________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间
__________，使区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
f(a)·f(b)＜0
一分为二
零点
1．函数的零点是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点吗？
【提示】　不是．函数的零点是一个实数，是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．“f(a)·f(b)＜0”是“函数y＝f(x)(函数图象连续)在区间(a，b)内有零点”的什么条件？
【提示】　f(a)·f(b)＜0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，反之不一定成立，如函数f(x)＝x2－2x＋1在区间(0，2)内有零点x＝1，但f(0)f(2)＞0，因此，“f(a)·f(b)＜0”是“函数f(x)(函数图象连续)在区间(a，b)内有零点”的充分不必要条件．
【解析】　由零点存在性定理知x0∈(2，3)，故选C.
【答案】　C
【答案】　C
【答案】　B
4．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0，1)上有零点，则实数a的取值范围是________．

【解析】　函数f(x)＝x2＋x＋a在(0，1)上递增．
由已知条件f(0)f(1)＜0，即a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0.

【答案】　(－2，0)
【思路点拨】　(1)先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．
(2)画出两个函数的图象寻找零点所在的区间．
【尝试解答】　(1)因为f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0，1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．
【答案】　(1)B　(2)(1，2)
1．函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.
2．求函数的零点，从代数角度思考就是解方程f(x)＝0；从几何角度思考就是研究其图象与x轴交点的横坐标．通过画出函数的图象，观察图象与x轴在给定区间上的交点判定．
若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为(　　)
A．1.25　　　　　　　 B．1.375
C．1.406 25 D．1.5
【思路点拨】　(1)二分法求近似零点，需将区间一分为二，逐渐逼近；(2)必须满足精确度要求，即|a－b|＜0.1.
【尝试解答】　根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，
又|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25＜0.1，
故方程的一个近似根可以是1.406 25.
【答案】　C
1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注意“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆．
2．(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y＝f(x)的图象在[a，b]内连续不间断，②f(a)·f(b)＜0.(2)在第一步中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计算次数．
在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
【思路点拨】　解答(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解，(2)转化为两个函数f(x)与g(x)有两个交点，从而数形结合求解．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，
∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【答案】　C
用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．
1.函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．
2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．
从近两年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型以客观题为主，主要考查学生转化与化归及函数与方程的思想．
思想方法之六　用函数与方程思想解决图象公共点问题
【答案】　B
易错提示：(1)不能把函数图象的交点问题转化为方程的根的问题，找不到解决问题的切入点．
(2)不能把方程根的情况与相应函数的极值大小联系起来，思维受阻，无法解答．
防范措施：(1)明确函数图象的交点、方程的根与函数的零点三者之间的关系是解决问题的关键所在．
(2)方程的根的情况与函数的极值的大小有密切的关系，求解时应注意寻找它们之间的关系．
1．(2012·湖北高考)函数f(x)＝xcos x2在区间[0，4]上的零点个数为(　　)
A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7
【答案】　C
2．(2013·佛山质检)若关于x的方程2－|x|－x2＋a＝0有两个不等的实数解，则a的取值范围是________．
【解析】　由题意得方程2－|x|＝x2－a
有两个不等的实数解，即函数y＝2－|x
|与y＝x2－a有两个不同的交点，如图，
要使图象有两个交点，通过数形结合思想，可知－a＜1，∴a＞－1，即a的取值范围为(－1，＋∞)．
【答案】　(－1，＋∞)