第十节　变化率与导数、导数的计算
②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0)处的__________．(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为
__________________________．
切线斜率
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
2．基本初等函数的导数公式
n·xn－1
cosx
－sinx
axlna
ex
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝_____________________；
(2)[f(x)·g(x)]′＝______________________；
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
4．复合函数的导数
设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝________________．
f′(u)·v′(x)
1．f′(x)与f′(x0)有何区别与联系？
【提示】　f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值．
2．曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过P0(x0，y0)的切线，两种说法有区别吗？
【提示】　有，前者P0一定为切点，而后者P0不一定为切点．
【解析】　由题意知，汽车的速度函数为v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，则v′(t)＝12t－g，
故当t＝2 s时，汽车的加速度是v′(2)＝12×2－10＝14 m/s2.
【答案】　A
2．函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　)
A．xsin x B．－xsin x
C．xcos x D．－xcos x
【解析】　f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
【答案】　B
【解析】　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.
【答案】　B
4．(2012·广东高考)曲线y＝x3－x＋3在点(1，3)处的切线方程为________．

【解析】　∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.
∴所求切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.

【答案】　2x－y＋1＝0
【思路点拨】　(1)利用积的导数运算法则求解，(2)先化简再求导，(3)利用商的导数运算法则和复合函数求导法则求解．
1．本题在解答过程中常见的错误有：(1)商的求导中，符号判定错误；(2)不能正确运用求导公式和求导法则．
2．求函数的导数的方法
(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
(2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；
(3)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
(4)不能直接求导的：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．
已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．
【思路点拨】　从直线l与C1，C2都相切入手，分别求直线l的方程，通过比较系数求解．

(1)若函数f(x)＝excos x，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为(　　)
A．0　　　　　　　　B．锐角
C．直角 D．钝角
(2)已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f′(a＋1)，则(　　)
A．A>B>C B．A>C>B
C．B>A>C D．C>B>A
A＝f′(a)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线斜率；C＝f′(a＋1)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线斜率．由图象得，A>B>C.
【答案】　(1)D　(2)A
【思路点拨】
1．切点(2，f(2))既在切线上，又在曲线f(x)上，从而得到关于a，b的方程组．
2．当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．
【解】　(1)∵l是f(x)＝ln x在点(1，0)处的切线，
∴其斜率k＝f′(1)＝1，
因此直线l的方程为y＝x－1.
(2)又l与g(x)相切于点(1，0)，
∴g′(1)＝1，且g(1)＝0.
曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：
(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．
(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标．
1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别．
3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．
从近两年的高考试题来看，求导公式和运算法则，以及导数的几何意义是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又可做为解答题的一问，难度中、低档为主，除了考查导数运算，几何意义，还常与函数相关知识渗透交汇命题．
易错辨析之五　求导时忽视函数定义域致误
(2011·江西高考)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为(　　)
A．(0，＋∞)　　　　　　　B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1，0)
【答案】　B
【答案】　D
2．(2012·课标全国卷)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．

【答案】　y＝4x－3