第十一节　导数在研究函数中的应用
1．函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内___________；
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内___________；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是__________．
单调递增
单调递减
常数函数
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值__________，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧__________，右侧____________，则a点叫函数的极小值点，f(a)叫函数的极小值．
都小
f′(x)<0
f′(x)>0
(2)函数的极大值与极大值点：
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值_________，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧____________，右侧____________，则b点叫函数的极大值点，f(b)叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．
都大
f′(x)>0
f′(x)<0
3．函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条_________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________．
②将函数y＝f(x)的各极值与_______________________比较，其中_______的一个是最大值，______的一个是最小值．
连续不断
极值
端点处的函数值f(a)、f(b)
最大
最小
1．f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件吗？
【提示】　函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．
2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？它是可导函数在该点取得极值的什么条件？
【提示】　不一定．如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点，对于可导函数，若x＝x0为其极值点，则需满足以下两个条件：①f′(x0)＝0，②x＝x0两侧的导数f′(x)的符号异号．因此f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在点x＝x0取得极值的必要不充分条件．
【答案】　B
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图2－11－1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】　导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个.

【答案】　A
4．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则(　　)
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
【解析】　∵f(x)＝xex，
∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．
∴当f′(x)≥0时，
即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，
∴x≥－1时函数y＝f(x)为增函数．
同理可求，x<－1时函数f(x)为减函数．
∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．
【答案】　D
(2012·课标全国卷)设函数f(x)＝ex－ax－2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
【思路点拨】　(1)分a≤0和a＞0两种情况解不等式f′(x)＞0与f′(x)＜0.
(2)分离参数k，转化为恒成立问题求解．
【尝试解答】　(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1，2)．
当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.
所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．
又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，
所以g(α)＝α＋1∈(2，3)．
由于①式等价于k故整数k的最大值为2.
1．解答本题(2)时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
2．(1)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．
(2)由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．
(2)若f(x)为R上的单调函数，
则f′(x)在R上不变号．
结合①式，及a＞0，
得ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．
所以二次方程1＋ax2－2ax＝0无解或有两个相同实数解，
Δ＝4a2－4a≤0，即0≤a≤1.又∵a＞0.
故实数a的取值范围是(0，1]．
1．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．特别注意，导数为零的点不一定是极值点．
2．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
3．本题第(2)问求解的关键是转化，函数与方程，方程与不等式相互转化．
(2013·韶关模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．
(1)要使f(x)在(0，2)上单调递增，试求a的取值范围；
(2)当a＜0时，若函数满足y极大＝1，y极小＝－3，试求y＝f(x)的解析式．
【解】　(1)f′(x)＝－3x2＋2ax.
依题f′(x)≥0在(0，2)上恒成立．即2ax≥3x2.
∵x＞0，2a≥3x，
∴2a≥6，∴a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．
(2012·北京高考)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．
【审题视点】　(1)求出两条切线方程比较系数求解．
(2)讨论极值点与区间(－∞，－1]的关系，从而确定最大值．
a>0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下：
1．本题(2)中区间确定，但函数解析式不确定，因此应讨论每个极值点与区间的关系，求解时可画出每一类情况的大致图象，数形结合求解．
2．求函数f(x)在[a，b]上的最值的步骤如下：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
若k＞0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)，单调递减区间是(－k，k)．
若k＜0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，单调递增区间是(k，－k)．
函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念．

1.f′(x)＞0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．
2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
1.求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；
2．f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点；
3．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．
从近两年高考试题看，导数的应用是考查的热点，重点是利用导数研究函数的单调性，求极(最)值，题型全面，小题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，大题考查导数与函数单调性、极值与最值的关系，多与方程、一元二次不等式等知识交汇，体现转化思想、分类讨论思想的应用，同时应注意与导数有关的创新题．
创新探究之二　导数在比较大小中的创新应用
(2012·浙江高考)设a>0，b>0，e是自然对数的底数(　　)
A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b
B．若ea＋2a＝eb＋3b，则aC．若ea－2a＝eb－3b，则a>b
D．若ea－2a＝eb－3b，则a【解析】　设f(x)＝ex＋2x，则f′(x)＝ex＋2＞0，
从而f(x)在R上是增函数，
若ea＋2a＝eb＋3b，
则(ea＋2a)－(eb＋2b)＝b＞0，
∴f(a)－f(b)＞0，∴a＞b，
设g(x)＝ex－2x，
则g′(x)＝ex－2，
f(x)在R上不是单调函数，
从而无法确定a与b的大小关系．
【答案】　A
创新点拨：(1)背景创新，已知等式，判断不等式是否成立，体现了“等”与“不等”关系的相互转化．
(2)解法创新，从等式出发，构造函数利用导数判断函数的单调性，根据单调性判断a、b的关系，体现了转化与化归的思想．
应对措施：(1)从等式中寻找不等关系，为构造函数创造了条件．
(2)利用函数的单调性判断不等关系是常用的方法，当函数关系不明确时，构造函数则是解题的关键．