第三节　等比数列
1．等比数列
2．等比数列的性质
(1)对任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝__________＝a.
(2)通项公式的推广：an＝am _____________(m，n∈N*)
(3)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为________；当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列．
ap·aq
qn－m
qn
1．b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？
【提示】　必要而不充分条件．当a＝0，b＝0，c＝1时，满足b2＝ac，但a，b，c不是等比数列；当a，b，c成等比数列时，必有b2＝ac.
【答案】　A
2．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】　由题意a＝a3a11＝16，且a7＞0，∴a7＝4，
∴a10＝a7·q3＝4×23＝25，
从而log2a10＝5.
【答案】　B
4．(2012·江西高考)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________．

【答案】　11
【思路点拨】　建立关于a1与公比q的方程，求出基本量a1和公比，代入等比数列的通项公式与求和公式．
1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．
2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算．
【思路点拨】　正确设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列{bn}的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问．

【尝试解答】　(1)∵S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，
∴S3·(S9－S6)＝(S6－S3)2，
又S3＝40，S6＝40＋20＝60，
∴40(S9－60)＝202，故S9＝70.
1．本题充分利用已知条件，数列的性质，简化了运算．
2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
【答案】　(1)D　(2)C

已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．
(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明：{bn} 是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．
【证明】　(1)由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，
得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.
由b1＝a2－a1＝1，q≠0，
利用错位相减法推导等比数列的前n项和公式．

1.由an＋1＝qan(q≠0)，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
2．运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止忽略q＝1这一特殊情形．
等比数列是每年高考的热点内容，主要考查等比数列的通项公式，前n项和公式及等比数列的性质，各种题型均有可能出现．注重等比数列与相关知识综合交汇，或“非标准”的等比数列是命题新的生长点．
创新探究之七　等比数列与三角函数的交汇创新
创新点拨：(1)等比数列和三角函数相结合，考查学生的阅读理解能力与知识迁移能力．
(2)等比数列和三角函数两部分知识跨度较大，放在一起考查，对学生灵活处理问题的能力有较高要求．
应对措施：(1)采取先局部，后整体的策略，即先单独考虑等比数列和三角函数，再从整体上考虑两部分知识之间的联系．
(2)对两部分知识的结合点，要从其如何产生和有何作用两个方面考虑．
【答案】　C
2．(2012·陕西高考)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．
(1)求数列{an}的公比；
(2)对任意k∈N*，证明Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
【解】　(1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，
由a5，a3，a4成等差数列，
得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3.
由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，
解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，
所以q＝－2.
(2)证明　对任意k∈N*，由(1)知，
Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2＝Sk＋ak＋1－2ak＋1＝Sk－ak＋1，
且Sk＋1＝Sk＋ak＋1，
∴Sk＋2＋Sk＋1＝2Sk，
从而对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．